নিচে পঞ্চম শ্রেণীর "আমার গণিত" বইয়ের চতুর্থ অধ্যায় "সবথেকে বেশি কতজনের মধ্যে সমান ভাগ করতে পারি" (গ.সা.গু.)-এর (পৃষ্ঠা ৪৮ থেকে ৫৫ পর্যন্ত) সমস্ত অঙ্কের সহজ ও নির্ভুল সমাধান দেওয়া হলো।
১। মনে মনে হিসাব করি:
৮-এর গুণনীয়কগুলি হলো: ১, ২, ৪, ৮।
উত্তর: ৪টি।
উত্তর: ১, ৩, ৭, ২১।
২৪ = ২ × ২ × ২ × ৩। এর মৌলিক উৎপাদক হলো ২ এবং ৩।
উত্তর: ২টি।
৪৯ = ৭ × ৭।
উত্তর: ৭।
২। সাধারণ গুণনীয়ক নির্ণয় করি:
| সংখ্যা দুটি | প্রথম সংখ্যার গুণনীয়ক | দ্বিতীয় সংখ্যার গুণনীয়ক | সাধারণ গুণনীয়ক |
|---|---|---|---|
| (ক) ১৪, ২১ | ১, ২, ৭, ১৪ | ১, ৩, ৭, ২১ | ১, ৭ |
| (খ) ১০, ১৫ | ১, ২, ৫, ১০ | ১, ৩, ৫, ১৫ | ১, ৫ |
| (গ) ৫, ৭ | ১, ৫ | ১, ৭ | ১ |
| (ঘ) ১, ১২ | ১ | ১, ২, ৩, ৪, ৬, ১২ | ১ |
| (ঙ) ২৭, ৩৬ | ১, ৩, ৯, ২৭ | ১, ২, ৩, ৪, ৬, ৯, ১২, ১৮, ৩৬ | ১, ৩, ৯ |
| (চ) ২৮, ৩৫ | ১, ২, ৪, ৭, ১৪, ২৮ | ১, ৫, ৭, ৩৫ | ১, ৭ |
৩। গুণনীয়কের সাহায্যে গ.সা.গু. নির্ণয় করি:
২১ এর গুণনীয়ক = ১, ৩, ৭, ২১
২৮ এর গুণনীয়ক = ১, ২, ৪, ৭, ১৪, ২৮
গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক (গ.সা.গু) = ৭
৩০ এর গুণনীয়ক = ১, ২, ৩, ৫, ৬, ১০, ১৫, ৩০
২৪ এর গুণনীয়ক = ১, ২, ৩, ৪, ৬, ৮, ১২, ২৪
নির্ণেয় গ.সা.গু. = ৬
সাধারণ গুণনীয়কগুলি = ১, ২, ৪
গ.সা.গু. = ৪
সাধারণ গুণনীয়ক = ১
গ.সা.গু. = ১
সাধারণ গুণনীয়কগুলি = ১, ২, ৪, ৮
গ.সা.গু. = ৮
৪। প্রতিক্ষেত্রে নীচের সংখ্যাগুলি পরস্পর মৌলিক কিনা দেখি:
৯ ও ৮ এর সাধারণ উৎপাদক কেবল ১, তাই গ.সা.গু. = ১।
এরা পরস্পর মৌলিক সংখ্যা।
দুটিই মৌলিক সংখ্যা, এদের সাধারণ উৎপাদক ১। গ.সা.গু. = ১।
এরা পরস্পর মৌলিক সংখ্যা।
১৫ ও ২৫ এর সাধারণ উৎপাদক ১ এবং ৫। এদের গ.সা.গু. = ৫।
এরা পরস্পর মৌলিক নয়।
২৫ = ৫×৫ এবং ১৬ = ২×২×২×২। এদের সাধারণ উৎপাদক ১। গ.সা.গু. = ১।
এরা পরস্পর মৌলিক সংখ্যা।
ক) ৬৬ ও ৮৪
৬৬ = ২ × ৩ × ১১৮৪ = ২ × ২ × ৩ × ৭
সাধারণ উৎপাদক = ২, ৩
খ) ৪০ ও ৯০
৪০ = ২ × ২ × ২ × ৫৯০ = ২ × ৩ × ৩ × ৫
সাধারণ উৎপাদক = ২, ৫
গ) ২৩ ও ২১
২৩ = ১ × ২৩ (মৌলিক)২১ = ১ × ৩ × ৭
সাধারণ উৎপাদক = ১
ঘ) ২৫, ৩০ ও ৪৫
২৫ = ৫ × ৫৩০ = ২ × ৩ × ৫
৪৫ = ৩ × ৩ × ৫
ঙ) ১২, ১৮ ও ২৭
১২ = ২ × ২ × ৩১৮ = ২ × ৩ × ৩
২৭ = ৩ × ৩ × ৩
চ) ১৫, ২৫ ও ৪০
১৫ = ৩ × ৫২৫ = ৫ × ৫
৪০ = ২ × ২ × ২ × ৫
ক) ৭, ৬
খ) ৯, ১২
গ) ১৫, ২৫
ঘ) ২৪, ৩৬
ঙ) ৩৯, ৬৫
চ) ১০, ১৮
| ছ) ৪৫, ৫৫ গ.সা.গু. = ৫ |
জ) ২২, ৩৩ গ.সা.গু. = ১১ |
| ঝ) ২৮, ৩৫ গ.সা.গু. = ৭ |
ঞ) ২১, ৩০ গ.সা.গু. = ৩ |
১। ৫৫ মিটার দীর্ঘ একটি লোহার পাত ও ২২ মিটার দীর্ঘ একটি তামার পাত থেকে কোনো পাত নষ্ট না করে একই মাপের সবচেয়ে বড়ো টুকরো কেটে নেওয়া হলো। এই টুকরোটির দৈর্ঘ্য কত? (পৃষ্ঠা ৫১)
সমাধান: সবচেয়ে বড়ো টুকরোর দৈর্ঘ্য হবে ৫৫ ও ২২ এর গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক (গ.সা.গু.)।
৫৫ = ১ × ৫ × ১১
২২ = ১ × ২ × ১১
৫৫ ও ২২ এর গ.সা.গু. = ১১।
উত্তর: টুকরোটির সর্বাধিক দৈর্ঘ্য ১১ মিটার হবে।
২। ১৪ টি গোটা আপেল ও ২১ টি গোটা কমলালেবু সবচেয়ে বেশি কতজনের মধ্যে সমান ভাগে ভাগ করা যাবে? (পৃষ্ঠা ৫৩)
সমাধান: সর্বাধিক জনের সংখ্যা হবে ১৪ ও ২১ এর গ.সা.গু.।
১৪ ও ২১ এর গ.সা.গু. = ৭।
উত্তর: সবচেয়ে বেশি ৭ জনের মধ্যে ফলগুলি সমান ভাগে ভাগ করা যাবে।
৩। ৯ টি খাতা, ১২ টি পেনসিল ও ২৪ টি রং পেনসিল সর্বাধিক কতজনের মধ্যে সমান ভাগে ভাগ করে দেওয়া যাবে? (পৃষ্ঠা ৫৫)
সমাধান: সর্বাধিক জনের সংখ্যা হবে ৯, ১২ ও ২৪ এর গ.সা.গু.।
৯ = ৩ × ৩
১২ = ২ × ২ × ৩
২৪ = ২ × ২ × ২ × ৩
৯, ১২, ২৪-এর গ.সা.গু. = ৩।
উত্তর: সর্বাধিক ৩ জনের মধ্যে সমান ভাগে ভাগ করে দেওয়া যাবে।
৪। ৭৫ লিটার কেরোসিন তেল ও ২৫ লিটার পেট্রোল সমান মাপের টিনে এমনভাবে ভর্তি করে রাখতে হবে যাতে দু-প্রকার তেল মিশে না যায়। কমপক্ষে কতগুলি টিনে তা করা যাবে? প্রতি টিনে কত লিটার তেল ধরবে? (পৃষ্ঠা ৫৫)
সমাধান: প্রতি টিনে সর্বাধিক তেল ধরতে পারে ৭৫ এবং ২৫ এর গ.সা.গু.।
৭৫ ও ২৫ এর গ.সা.গু. = ২৫। সুতরাং প্রতি টিনে ২৫ লিটার তেল ধরবে।
কমপক্ষে টিন লাগবে = (৭৫ ÷ ২৫) + (২৫ ÷ ২৫)
= ৩ + ১ = ৪ টি।
উত্তর: প্রতি টিনে ২৫ লিটার তেল ধরবে এবং কমপক্ষে ৪ টি টিন লাগবে।
ক) ১৪, ২১, ৩৫
১৪ = ২ × ৭
২১ = ৩ × ৭
৩৫ = ৫ × ৭
নির্ণেয় গ.সা.গু. = ৭
খ) ১১, ৩৩, ৫৫
১১ = ১ × ১১
৩৩ = ৩ × ১১
৫৫ = ৫ × ১১
নির্ণেয় গ.সা.গু. = ১১
গ) ৭২, ৯০, ৫৪
সংক্ষিপ্ত ভাগ প্রক্রিয়ায়:
নির্ণেয় গ.সা.গু. = ২ × ৩ × ৩ = ১৮
ঘ) ২৬, ৬৫, ৯১
২৬ = ২ × ১৩
৬৫ = ৫ × ১৩
৯১ = ৭ × ১৩
নির্ণেয় গ.সা.গু. = ১৩