১) উন্নতি কোণ (Angle of Elevation): যখন দর্শক নিচের কোনো বিন্দু থেকে উপরের কোনো বস্তু দেখেন।
২) অবনতি কোণ (Angle of Depression): যখন দর্শক উপরের কোনো বিন্দু থেকে নিচের কোনো বস্তু দেখেন।
সব অংকেই আমরা সমকোণী ত্রিভুজ কল্পনা করে $\tan \theta = \displaystyle\frac{\text{লম্ব}}{\text{ভূমি}}$, $\sin \theta = \displaystyle\frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}}$ বা $\cos \theta = \displaystyle\frac{\text{ভূমি}}{\text{অতিভুজ}}$ সূত্র প্রয়োগ করব।
1. একটি নারকেল গাছের গোড়া থেকে অনুভূমিক তলে 20 মিটার দূরের একটি বিন্দুর সাপেক্ষে গাছটির অগ্রভাগের উন্নতি কোণ যদি 60° হয়, তাহলে গাছটির উচ্চতা নির্ণয় করি।
ধরি, নারকেল গাছটির উচ্চতা $AB = h$ মিটার।
গাছের গোড়া B থেকে C বিন্দুর দূরত্ব $BC = 20$ মিটার।
C বিন্দুতে গাছের অগ্রভাগ A-এর উন্নতি কোণ $\angle ACB = 60^\circ$।
সমকোণী $\triangle ABC$ থেকে পাই,
$$ \begin{align*} \tan \angle ACB &= \frac{\text{লম্ব}}{\text{ভূমি}} = \frac{AB}{BC} \\ \tan 60^\circ &= \frac{h}{20} \\ \sqrt{3} &= \frac{h}{20} \\ h &= 20\sqrt{3} \end{align*} $$2. সূর্যের উন্নতি কোণ যখন 30° তখন একটি স্তম্ভের ছায়ার দৈর্ঘ্য 9 মিটার হয়। স্তম্ভটির উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
ধরি, স্তম্ভটির উচ্চতা $AB = h$ মিটার।
স্তম্ভের ছায়ার দৈর্ঘ্য $BC = 9$ মিটার।
সূর্যের উন্নতি কোণ $\angle ACB = 30^\circ$।
সমকোণী $\triangle ABC$ থেকে পাই,
$$ \begin{align*} \tan \angle ACB &= \frac{AB}{BC} \\ \tan 30^\circ &= \frac{h}{9} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} &= \frac{h}{9} \\ h\sqrt{3} &= 9 \\ h &= \frac{9}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3} \end{align*} $$3. 150 মি. লম্বা সুতো দিয়ে একটি মাঠে থেকে ঘুড়ি ওড়ানো হয়েছে। ঘুড়িটি যদি অনুভূমিক রেখার সঙ্গে 60° কোণ করে উড়তে থাকে, তাহলে ঘুড়িটি মাঠ থেকে কত উঁচুতে রয়েছে হিসাব করে লিখি।
ধরি, সুতোর দৈর্ঘ্য $AC = 150$ মিটার এবং ঘুড়িটির মাটি থেকে লম্ব উচ্চতা $BC = h$ মিটার।
উন্নতি কোণ $\angle CAB = 60^\circ$।
সমকোণী $\triangle ABC$-তে লম্ব এবং অতিভুজ সম্পর্কিত সূত্র $\sin$ ব্যবহার করব:
$$ \begin{align*} \sin \angle CAB &= \frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}} = \frac{BC}{AC} \\ \sin 60^\circ &= \frac{h}{150} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} &= \frac{h}{150} \\ 2h &= 150\sqrt{3} \\ h &= \frac{150\sqrt{3}}{2} = 75\sqrt{3} \end{align*} $$4. একটি নদীর একটি পাড়ের একটি তালগাছের সোজাসুজি অপর পাড়ে একটি খুঁটি পুঁতলাম। এবার নদীর পাড় ধরে ওই খুঁটি থেকে $7\sqrt{3}$ মিটার সরে গিয়ে দেখছি নদীর পাড়ের পরিপ্রেক্ষিতে গাছটির পাদদেশ 60° কোণে রয়েছে। নদীটি কত মিটার চওড়া নির্ণয় করি।
ধরি, নদীর চওড়া $AB = w$ মিটার।
খুঁটি B থেকে C বিন্দুর দূরত্ব $BC = 7\sqrt{3}$ মিটার।
C বিন্দু থেকে গাছটির (A বিন্দুর) উন্নতি কোণ $\angle ACB = 60^\circ$।
সমকোণী $\triangle ABC$ থেকে পাই,
$$ \begin{align*} \tan \angle ACB &= \frac{AB}{BC} \\ \tan 60^\circ &= \frac{w}{7\sqrt{3}} \\ \sqrt{3} &= \frac{w}{7\sqrt{3}} \\ w &= \sqrt{3} \times 7\sqrt{3} \\ w &= 7 \times 3 = 21 \end{align*} $$5. ঝড়ে একটি টেলিগ্রাফপোস্ট মাটি থেকে কিছু উপরে মচকে যাওয়ায় তার অগ্রভাগ গোড়া থেকে $8\sqrt{3}$ মিটার দূরে মাটি স্পর্শ করেছে এবং অনুভূমিক রেখার সঙ্গে 30° কোণ উৎপন্ন করেছে। পোস্টটি মাটি থেকে কত উপরে মচকে ছিল এবং পোস্টটির উচ্চতা কত ছিল হিসাব করে লিখি।
ধরি, পোস্টটির সম্পূর্ণ উচ্চতা $AB$। পোস্টটি $D$ বিন্দুতে মচকে গেছে।
মচকানো অংশ $AD$ মাটিতে $C$ বিন্দুতে স্পর্শ করেছে। সুতরাং $AD = CD$ (ধরি $l$)।
দণ্ডায়মান অংশ $BD = h$ মিটার।
গোড়া থেকে অগ্রভাগের দূরত্ব $BC = 8\sqrt{3}$ মিটার এবং উৎপন্ন কোণ $\angle DCB = 30^\circ$।
১) কত উপরে মচকে ছিল ($h$):
সমকোণী $\triangle DBC$ থেকে পাই,
$$ \begin{align*} \tan 30^\circ &= \frac{BD}{BC} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} &= \frac{h}{8\sqrt{3}} \\ h &= \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 8 \text{ মিটার} \end{align*} $$অর্থাৎ, পোস্টটি মাটি থেকে 8 মিটার উপরে মচকে ছিল。
২) পোস্টটির সম্পূর্ণ উচ্চতা:
এখন $CD$ (বা $l$) এর দৈর্ঘ্য বের করব:
$$ \begin{align*} \cos 30^\circ &= \frac{BC}{CD} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} &= \frac{8\sqrt{3}}{l} \\ l\sqrt{3} &= 16\sqrt{3} \\ l &= 16 \text{ মিটার} \end{align*} $$পোস্টটির সম্পূর্ণ উচ্চতা = $AB = AD + BD = l + h = 16 + 8 = 24$ মিটার।
6. আমাদের পাড়ায় রাস্তার দু-পাশে পরস্পর বিপরীত দিকে দুটি বাড়ি আছে। প্রথম বাড়ির দেয়ালের গোড়া থেকে 6 মিটার দূরে একটি মই-এর গোড়া রেখে যদি মইটিকে দেয়ালে ঠেকানো যায়, তবে তা অনুভূমিক রেখার সঙ্গে 30° কোণ উৎপন্ন করে। কিন্তু মইটিকে যদি একই জায়গায় রেখে দ্বিতীয় বাড়ির দেয়ালে লাগানো যায়, তাহলে অনুভূমিক রেখার সঙ্গে 60° কোণ উৎপন্ন করে।
ধরি, মইটির গোড়া রাস্তার উপর P বিন্দুতে আছে। প্রথম বাড়ি AB এবং দ্বিতীয় বাড়ি CD।
প্রথম ক্ষেত্রে, মইটি PB এবং দ্বিতীয় ক্ষেত্রে মইটি PD। মইয়ের দৈর্ঘ্য $PB = PD = l$ মিটার।
দেওয়া আছে, প্রথম বাড়ির গোড়া থেকে মইয়ের দূরত্ব $AP = 6$ মিটার এবং $\angle BPA = 30^\circ$।
দ্বিতীয় বাড়ির ক্ষেত্রে, $\angle DPC = 60^\circ$।
(i) মইটির দৈর্ঘ্য:
সমকোণী $\triangle PAB$ থেকে পাই,
$$ \begin{align*} \cos 30^\circ &= \frac{AP}{PB} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} &= \frac{6}{l} \\ l\sqrt{3} &= 12 \\ l &= \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \text{ মিটার} \end{align*} $$উত্তর (i): মইটির দৈর্ঘ্য $4\sqrt{3}$ মিটার।
(ii) দ্বিতীয় বাড়ির দেয়ালের গোড়া থেকে মইটির গোড়ার দূরত্ব:
সমকোণী $\triangle PCD$ থেকে পাই,
$$ \begin{align*} \cos 60^\circ &= \frac{PC}{PD} \\ \frac{1}{2} &= \frac{PC}{4\sqrt{3}} \\ PC &= \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \text{ মিটার} \end{align*} $$উত্তর (ii): দূরত্ব $2\sqrt{3}$ মিটার।
(iii) রাস্তাটি কত চওড়া:
রাস্তার চওড়া = $AC = AP + PC = 6 + 2\sqrt{3}$ মিটার।
উত্তর (iii): রাস্তাটি $(6 + 2\sqrt{3})$ মিটার চওড়া।
(iv) দ্বিতীয় বাড়ির কত উঁচুতে মইটির অগ্রভাগ স্পর্শ করবে:
সমকোণী $\triangle PCD$ থেকে পাই,
$$ \begin{align*} \sin 60^\circ &= \frac{CD}{PD} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} &= \frac{CD}{4\sqrt{3}} \\ 2 \times CD &= 4\sqrt{3} \times \sqrt{3} \\ 2 \times CD &= 12 \\ CD &= 6 \text{ মিটার} \end{align*} $$উত্তর (iv): দ্বিতীয় বাড়ির 6 মিটার উঁচুতে স্পর্শ করবে।
7. যদি একটি চিমনির গোড়ার সঙ্গে সমতলে অবস্থিত একটি বিন্দুর সাপেক্ষে চিমনির চূড়ার উন্নতি কোণ 60° হয় এবং সেই বিন্দু ও চিমনির গোড়ার সঙ্গে একই সরলরেখায় অবস্থিত ওই বিন্দু থেকে আরও 24 মিটার দূরের অপর একটি বিন্দুর সাপেক্ষে চিমনির চূড়ার উন্নতি কোণ 30° হয়, তাহলে চিমনির উচ্চতা হিসাব করে লিখি। [$\sqrt{3}$ এর আসন্ন মান 1.732 ধরে তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান নির্ণয় করি]
ধরি, চিমনির উচ্চতা $AB = h$ মিটার। প্রথম বিন্দু C এবং দ্বিতীয় বিন্দু D।
দেওয়া আছে, $CD = 24$ মিটার, $\angle ACB = 60^\circ$ এবং $\angle ADB = 30^\circ$।
ধরি, $BC = x$ মিটার। তাহলে $DB = x + 24$ মিটার।
সমকোণী $\triangle ABC$ থেকে পাই,
$$ \begin{align*} \tan 60^\circ &= \frac{AB}{BC} \\ \sqrt{3} &= \frac{h}{x} \implies x = \frac{h}{\sqrt{3}} \quad \dots \text{(i)} \end{align*} $$সমকোণী $\triangle ABD$ থেকে পাই,
$$ \begin{align*} \tan 30^\circ &= \frac{AB}{DB} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} &= \frac{h}{x + 24} \\ x + 24 &= h\sqrt{3} \end{align*} $$(i) নং থেকে $x$-এর মান বসিয়ে পাই:
$$ \begin{align*} \frac{h}{\sqrt{3}} + 24 &= h\sqrt{3} \\ h\sqrt{3} - \frac{h}{\sqrt{3}} &= 24 \\ \frac{3h - h}{\sqrt{3}} &= 24 \\ \frac{2h}{\sqrt{3}} &= 24 \\ 2h &= 24\sqrt{3} \\ h &= 12\sqrt{3} \end{align*} $$$\sqrt{3} = 1.732$ বসিয়ে পাই:
$h = 12 \times 1.732 = 20.784$ মিটার।
8. সূর্যের উন্নতি কোণ 45° থেকে বৃদ্ধি পেয়ে 60° হলে, একটি খুঁটির ছায়ার দৈর্ঘ্য 3 মিটার কমে যায়। খুঁটিটির উচ্চতা নির্ণয় করি। [$\sqrt{3} = 1.732$ ধরে তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান নির্ণয় করি]
ধরি, খুঁটির উচ্চতা $h$ মিটার। প্রথমে ছায়ার দৈর্ঘ্য ছিল $BD + 3$ মিটার এবং কোণ ছিল $45^\circ$।
পরে কোণ $60^\circ$ হওয়ায় ছায়ার দৈর্ঘ্য হলো $BD = y$ মিটার।
প্রথম সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle ABC$ (উন্নতি কোণ $45^\circ$) থেকে পাই:
$$ \begin{align*} \tan 45^\circ &= \frac{h}{y + 3} \\ 1 &= \frac{h}{y + 3} \implies y + 3 = h \implies y = h - 3 \quad \dots \text{(i)} \end{align*} $$দ্বিতীয় সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle ABD$ (উন্নতি কোণ $60^\circ$) থেকে পাই:
$$ \begin{align*} \tan 60^\circ &= \frac{h}{y} \\ \sqrt{3} &= \frac{h}{h - 3} \quad [\text{(i) থেকে } y=h-3 \text{ বসিয়ে}] \\ h\sqrt{3} - 3\sqrt{3} &= h \\ h\sqrt{3} - h &= 3\sqrt{3} \\ h(\sqrt{3} - 1) &= 3\sqrt{3} \\ h &= \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1} \end{align*} $$হরের করণী নিরসন করে পাই:
$$ \begin{align*} h &= \frac{3\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} \\ &= \frac{9 + 3\sqrt{3}}{3 - 1} = \frac{9 + 3\sqrt{3}}{2} \end{align*} $$মান বসিয়ে পাই:
$$ \begin{align*} h &= \frac{9 + 3(1.732)}{2} \\ &= \frac{9 + 5.196}{2} \\ &= \frac{14.196}{2} = 7.098 \text{ মিটার} \end{align*} $$9. $9\sqrt{3}$ মিটার উঁচু তিনতলা বাড়ির ছাদ থেকে দেখলে 30 মিটার দূরে অবস্থিত একটি কারখানার চিমনির উন্নতি কোণ 30° হয়। চিমনির উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
ধরি, বাড়ির উচ্চতা $AB = 9\sqrt{3}$ মিটার। চিমনির উচ্চতা $CD$।
বাড়ির ছাদ A থেকে চিমনির চূড়া C এর উন্নতি কোণ $\angle CAE = 30^\circ$ (যেখানে AE হলো অনুভূমিক রেখা, যা BD এর সমান্তরাল)।
দেওয়া আছে, বাড়ি ও চিমনির দূরত্ব $BD = 30$ মিটার। $\therefore AE = 30$ মিটার।
এবং $ED = AB = 9\sqrt{3}$ মিটার।
সমকোণী $\triangle ACE$ থেকে পাই,
$$ \begin{align*} \tan \angle CAE &= \frac{CE}{AE} \\ \tan 30^\circ &= \frac{CE}{30} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} &= \frac{CE}{30} \\ CE &= \frac{30}{\sqrt{3}} = \frac{30\sqrt{3}}{3} = 10\sqrt{3} \text{ মিটার} \end{align*} $$চিমনির মোট উচ্চতা = $CD = CE + ED$
$$ \begin{align*} CD &= 10\sqrt{3} + 9\sqrt{3} \\ &= 19\sqrt{3} \text{ মিটার} \end{align*} $$10. একটি লাইট হাউস থেকে তার সঙ্গে একই সরলরেখায় অবস্থিত দুটি জাহাজের মাস্তুলের গোড়ার অবনতি কোণ যদি যথাক্রমে 60° ও 30° হয় এবং কাছের জাহাজের মাস্তুল যদি লাইট হাউস থেকে 150 মিটার দূরত্বে থাকে, তাহলে দূরের জাহাজের মাস্তুল লাইট হাউস থেকে কত দূরত্বে রয়েছে এবং লাইট হাউসটির উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
ধরি, লাইট হাউসের উচ্চতা $AB = h$ মিটার (A চূড়া, B গোড়া)।
কাছের জাহাজ C এবং দূরের জাহাজ D। অবনতি কোণগুলির একান্তর কোণ হিসেবে উন্নতি কোণ হবে $\angle ACB = 60^\circ$ এবং $\angle ADB = 30^\circ$।
দেওয়া আছে, কাছের জাহাজের দূরত্ব $BC = 150$ মিটার।
১) লাইট হাউসের উচ্চতা:
সমকোণী $\triangle ABC$ থেকে পাই,
$$ \begin{align*} \tan 60^\circ &= \frac{AB}{BC} \\ \sqrt{3} &= \frac{h}{150} \\ h &= 150\sqrt{3} \text{ মিটার} \end{align*} $$২) দূরের জাহাজের দূরত্ব:
ধরি, দূরের জাহাজের দূরত্ব $BD = x$ মিটার।
সমকোণী $\triangle ABD$ থেকে পাই,
$$ \begin{align*} \tan 30^\circ &= \frac{AB}{BD} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} &= \frac{150\sqrt{3}}{x} \\ x &= 150\sqrt{3} \times \sqrt{3} \\ x &= 150 \times 3 = 450 \text{ মিটার} \end{align*} $$11. একটি পাঁচতলা বাড়ির ছাদের কোনো বিন্দু থেকে দেখলে মনুমেন্টের চূড়ার উন্নতি কোণ ও গোড়ার অবনতি কোণ যথাক্রমে 60° ও 30° ; বাড়িটির উচ্চতা 16 মিটার হলে, মনুমেন্টের উচ্চতা এবং বাড়িটি মনুমেন্ট থেকে কত দূরে অবস্থিত হিসাব করে লিখি।
ধরি, বাড়িটির উচ্চতা $AB = 16$ মিটার এবং মনুমেন্টের উচ্চতা $CD$।
A বিন্দু থেকে মনুমেন্টের চূড়া C এর উন্নতি কোণ $\angle CAE = 60^\circ$ (যেখানে AE অনুভূমিক রেখা)।
A বিন্দু থেকে মনুমেন্টের গোড়া D এর অবনতি কোণ $\angle EAD = 30^\circ$। একান্তর কোণ হিসেবে $\angle ADB = 30^\circ$।
চিত্রানুযায়ী $ED = AB = 16$ মিটার এবং $AE = BD$ (বাড়ি ও মনুমেন্টের দূরত্ব)।
১) দূরত্ব নির্ণয়:
সমকোণী $\triangle ABD$ থেকে পাই,
$$ \begin{align*} \tan 30^\circ &= \frac{AB}{BD} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} &= \frac{16}{BD} \\ BD &= 16\sqrt{3} \text{ মিটার} \end{align*} $$সুতরাং, বাড়ি ও মনুমেন্টের দূরত্ব $16\sqrt{3}$ মিটার। ($\therefore AE = 16\sqrt{3}$)
২) মনুমেন্টের উচ্চতা নির্ণয়:
সমকোণী $\triangle ACE$ থেকে পাই,
$$ \begin{align*} \tan 60^\circ &= \frac{CE}{AE} \\ \sqrt{3} &= \frac{CE}{16\sqrt{3}} \\ CE &= 16\sqrt{3} \times \sqrt{3} \\ CE &= 16 \times 3 = 48 \text{ মিটার} \end{align*} $$মনুমেন্টের মোট উচ্চতা = $CD = CE + ED = 48 + 16 = 64$ মিটার।
12. 250 মিটার লম্বা সুতো দিয়ে একটি ঘুড়ি ওড়াচ্ছি। সুতোটি যখন অনুভূমিক রেখার সঙ্গে 60° কোণ করে থাকে এবং সুতোটি যখন অনুভূমিক রেখার সঙ্গে 45° কোণ করে তখন প্রতিক্ষেত্রে ঘুড়িটি আমার থেকে কত উপরে থাকবে হিসাব করে লিখি। এদের মধ্যে কোন ক্ষেত্রে ঘুড়িটি বেশি উঁচুতে থাকবে নির্ণয় করি।
সুতোর দৈর্ঘ্য (অতিভুজ) সর্বদা = 250 মিটার।
প্রথম ক্ষেত্র ($60^\circ$ কোণে):
উচ্চতা ধরি $h_1$।
$$ \begin{align*} \sin 60^\circ &= \frac{h_1}{250} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} &= \frac{h_1}{250} \\ h_1 &= \frac{250\sqrt{3}}{2} = 125\sqrt{3} \text{ মিটার} \end{align*} $$$125\sqrt{3} \approx 125 \times 1.732 = 216.5$ মিটার।
দ্বিতীয় ক্ষেত্র ($45^\circ$ কোণে):
উচ্চতা ধরি $h_2$।
$$ \begin{align*} \sin 45^\circ &= \frac{h_2}{250} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} &= \frac{h_2}{250} \\ h_2 &= \frac{250}{\sqrt{2}} = \frac{250\sqrt{2}}{2} = 125\sqrt{2} \text{ মিটার} \end{align*} $$$125\sqrt{2} \approx 125 \times 1.414 = 176.75$ মিটার।
যেহেতু $\sqrt{3} > \sqrt{2}$, তাই $125\sqrt{3} > 125\sqrt{2}$।
13. উড়োজাহাজের একজন যাত্রী কোনো এক সময় তাঁর এক পাশে হাওড়া স্টেশনটি এবং ঠিক বিপরীত পাশে শহিদ মিনারটি যথাক্রমে 60° ও 30° অবনতি কোণে দেখতে পান। ওই সময়ে উড়োজাহাজটি যদি $545\sqrt{3}$ মিটার উঁচুতে থাকে, তাহলে হাওড়া স্টেশন ও শহিদ মিনারের দূরত্ব নির্ণয় করি।
ধরি, উড়োজাহাজের অবস্থান A। এর লম্ব উচ্চতা $AD = 545\sqrt{3}$ মিটার।
মাটিতে D বিন্দুর একপাশে হাওড়া স্টেশন (B) এবং অপর পাশে শহিদ মিনার (C)।
A বিন্দু থেকে B-এর অবনতি কোণ 60° (একান্তর কোণ $\angle ABD = 60^\circ$)।
A বিন্দু থেকে C-এর অবনতি কোণ 30° (একান্তর কোণ $\angle ACD = 30^\circ$)।
সমকোণী $\triangle ABD$ থেকে পাই,
$$ \begin{align*} \tan 60^\circ &= \frac{AD}{BD} \\ \sqrt{3} &= \frac{545\sqrt{3}}{BD} \\ BD &= 545 \text{ মিটার} \end{align*} $$সমকোণী $\triangle ACD$ থেকে পাই,
$$ \begin{align*} \tan 30^\circ &= \frac{AD}{CD} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} &= \frac{545\sqrt{3}}{CD} \\ CD &= 545\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 545 \times 3 = 1635 \text{ মিটার} \end{align*} $$মোট দূরত্ব = $BC = BD + CD = 545 + 1635 = 2180$ মিটার।
14. একটি তিনতলা বাড়ির ছাদে 3.3 মিটার দৈর্ঘ্যের একটি পতাকা আছে। রাস্তার কোনো এক স্থান থেকে দেখলে পতাকা দণ্ডটির চূড়া ও পাদদেশের উন্নতি কোণ যথাক্রমে 50° ও 45° হয়। তিনতলা বাড়িটির উচ্চতা হিসাব করে লিখি। [ধরি, $\tan 50^\circ = 1.192$]
ধরি, বাড়িটির উচ্চতা $AB = h$ মিটার। পতাকাদণ্ড $BC = 3.3$ মিটার।
রাস্তার একটি বিন্দু P থেকে দেখলে, পতাকার পাদদেশ (B)-এর উন্নতি কোণ $\angle APB = 45^\circ$ এবং চূড়া (C)-এর উন্নতি কোণ $\angle APC = 50^\circ$।
ধরি, বাড়ি থেকে বিন্দুর দূরত্ব $AP = x$ মিটার।
সমকোণী $\triangle PAB$ থেকে পাই,
$$ \begin{align*} \tan 45^\circ &= \frac{AB}{AP} \\ 1 &= \frac{h}{x} \implies x = h \quad \dots \text{(i)} \end{align*} $$সমকোণী $\triangle PAC$ থেকে পাই,
$$ \begin{align*} \tan 50^\circ &= \frac{AC}{AP} \\ 1.192 &= \frac{h + 3.3}{x} \\ 1.192 &= \frac{h + 3.3}{h} \quad [\text{(i) থেকে } x=h \text{ বসিয়ে}] \\ 1.192h &= h + 3.3 \\ 1.192h - h &= 3.3 \\ 0.192h &= 3.3 \\ h &= \frac{3.3}{0.192} \\ h &= \frac{3300}{192} = 17.1875 \end{align*} $$15. দুটি স্তম্ভের উচ্চতা যথাক্রমে 180 মিটার ও 60 মিটার। দ্বিতীয় স্তম্ভটির গোড়া থেকে প্রথমটির চূড়ার উন্নতি কোণ 60° হলে, প্রথমটির গোড়া থেকে দ্বিতীয়টির চূড়ার উন্নতি কোণ হিসাব করে লিখি।
ধরি, প্রথম স্তম্ভ $AB = 180$ মি. এবং দ্বিতীয় স্তম্ভ $CD = 60$ মি.।
স্তম্ভ দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব $BD = x$ মিটার।
দ্বিতীয় স্তম্ভের গোড়া (D) থেকে প্রথমটির চূড়া (A)-এর উন্নতি কোণ $\angle ADB = 60^\circ$।
সমকোণী $\triangle ABD$ থেকে পাই,
$$ \begin{align*} \tan 60^\circ &= \frac{AB}{BD} \\ \sqrt{3} &= \frac{180}{x} \\ x &= \frac{180}{\sqrt{3}} = \frac{180\sqrt{3}}{3} = 60\sqrt{3} \text{ মিটার} \end{align*} $$এখন, প্রথমটির গোড়া (B) থেকে দ্বিতীয়টির চূড়া (C)-এর উন্নতি কোণ ধরি $\theta$ ($\angle CBD = \theta$)।
সমকোণী $\triangle CDB$ থেকে পাই,
$$ \begin{align*} \tan \theta &= \frac{CD}{BD} \\ \tan \theta &= \frac{60}{60\sqrt{3}} \\ \tan \theta &= \frac{1}{\sqrt{3}} \end{align*} $$আমরা জানি $\tan 30^\circ = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}$, তাই $\theta = 30^\circ$।
16. সূর্যের উন্নতি কোণ 45° হলে, কোনো সমতলে অবস্থিত একটি স্তম্ভের ছায়ার দৈর্ঘ্য যা হয়, উন্নতি কোণ 30° হলে, ছায়ার দৈর্ঘ্য তার চেয়ে 60 মিটার বেশি হয়। স্তম্ভটির উচ্চতা নির্ণয় করি।
এই সমস্যাটি অনেকটা 8 নং প্রশ্নের মতোই।
ধরি, স্তম্ভের উচ্চতা $h$ মিটার। 45° কোণের ক্ষেত্রে ছায়ার দৈর্ঘ্য $x$ মিটার।
30° কোণের ক্ষেত্রে ছায়ার দৈর্ঘ্য হবে $(x + 60)$ মিটার।
প্রথম ক্ষেত্রে:
$$ \begin{align*} \tan 45^\circ &= \frac{h}{x} \\ 1 &= \frac{h}{x} \implies x = h \quad \dots \text{(i)} \end{align*} $$দ্বিতীয় ক্ষেত্রে:
$$ \begin{align*} \tan 30^\circ &= \frac{h}{x + 60} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} &= \frac{h}{h + 60} \quad [\text{(i) থেকে } x=h] \\ h\sqrt{3} &= h + 60 \\ h\sqrt{3} - h &= 60 \\ h(\sqrt{3} - 1) &= 60 \\ h &= \frac{60}{\sqrt{3} - 1} \end{align*} $$হরের করণী নিরসন করে পাই:
$$ \begin{align*} h &= \frac{60(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} \\ &= \frac{60(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = \frac{60(\sqrt{3} + 1)}{2} = 30(\sqrt{3} + 1) \end{align*} $$17. একটি চিমনির সঙ্গে একই সমতলে অবস্থিত অনুভূমিক সরলরেখায় কোনো এক বিন্দু থেকে চিমনির দিকে 50 মিটার এগিয়ে যাওয়ায় তার চূড়ার উন্নতি কোণ 30° থেকে 60° হলো। চিমনির উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
ধরি, চিমনির উচ্চতা $h$ মিটার।
প্রথম বিন্দু থেকে দূরত্ব $(x + 50)$ মিটার এবং কোণ $30^\circ$।
50 মিটার এগিয়ে এলে নতুন দূরত্ব $x$ মিটার এবং কোণ $60^\circ$।
দ্বিতীয় অবস্থান থেকে:
$$ \begin{align*} \tan 60^\circ &= \frac{h}{x} \\ \sqrt{3} &= \frac{h}{x} \implies x = \frac{h}{\sqrt{3}} \quad \dots \text{(i)} \end{align*} $$প্রথম অবস্থান থেকে:
$$ \begin{align*} \tan 30^\circ &= \frac{h}{x + 50} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} &= \frac{h}{\frac{h}{\sqrt{3}} + 50} \\ \frac{h}{\sqrt{3}} + 50 &= h\sqrt{3} \\ 50 &= h\sqrt{3} - \frac{h}{\sqrt{3}} \\ 50 &= \frac{3h - h}{\sqrt{3}} \\ 50 &= \frac{2h}{\sqrt{3}} \\ 2h &= 50\sqrt{3} \\ h &= 25\sqrt{3} \end{align*} $$18. 126 ডেসিমি. উঁচু একটি উলম্ব খুঁটি মাটি থেকে কিছু উপরে দুমড়ে গিয়ে উপরের অংশ কাত হয়ে পড়ায় তার অগ্রভাগ মাটি স্পর্শ করে ভূমির সঙ্গে 30° কোণ উৎপন্ন করেছে। খুঁটিটি কত উপরে দুমড়ে গিয়েছিল এবং তার অগ্রভাগ গোড়া থেকে কত দূরে মাটি স্পর্শ করেছিল হিসাব করে লিখি।
খুঁটির মোট উচ্চতা = 126 ডেসিমি.
ধরি, খুঁটিটি $h$ ডেসিমি. উচ্চতায় ভেঙেছিল এবং ভাঙা অংশের দৈর্ঘ্য $l$ ডেসিমি.।
শর্তানুসারে, $l + h = 126 \implies l = 126 - h$
মাটির সাথে উৎপন্ন কোণ 30°। এখানে $h$ হলো লম্ব এবং $l$ হলো অতিভুজ।
$$ \begin{align*} \sin 30^\circ &= \frac{h}{l} \\ \frac{1}{2} &= \frac{h}{126 - h} \\ 126 - h &= 2h \\ 3h &= 126 \\ h &= 42 \text{ ডেসিমি.} \end{align*} $$খুঁটিটি 42 ডেসিমি. উপরে দুমড়ে গিয়েছিল।
এখন, ভাঙা অংশটির দৈর্ঘ্য $l = 126 - 42 = 84$ ডেসিমি।
অগ্রভাগ গোড়া থেকে কত দূরে মাটি স্পর্শ করেছিল (ভূমি) বের করব:
$$ \begin{align*} \cos 30^\circ &= \frac{\text{ভূমি}}{l} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} &= \frac{\text{ভূমি}}{84} \\ \text{ভূমি} &= \frac{84\sqrt{3}}{2} = 42\sqrt{3} \text{ ডেসিমি.} \end{align*} $$19. মাঠের মাঝখানে দাঁড়িয়ে মোহিত একটি উড়ন্ত পাখিকে প্রথমে উত্তরদিকে 30° উন্নতি কোণে এবং 2 মিনিট পরে দক্ষিণদিকে 60° উন্নতি কোণে দেখতে পেল। পাখিটি যদি একই সরলরেখা বরাবর $50\sqrt{3}$ মিটার উঁচুতে উড়ে থাকে, তবে তার গতিবেগ কিলোমিটার প্রতি ঘন্টায় নির্ণয় করি।
ধরি, মোহিতের অবস্থান M। পাখির উচ্চতা $h = 50\sqrt{3}$ মিটার।
প্রথম অবস্থানে (উত্তরদিকে), উন্নতি কোণ 30°। অনুভূমিক দূরত্ব $d_1$ হলে:
$$ \begin{align*} \tan 30^\circ &= \frac{h}{d_1} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} &= \frac{50\sqrt{3}}{d_1} \\ d_1 &= 50\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 150 \text{ মিটার} \end{align*} $$দ্বিতীয় অবস্থানে (দক্ষিণদিকে), উন্নতি কোণ 60°। অনুভূমিক দূরত্ব $d_2$ হলে:
$$ \begin{align*} \tan 60^\circ &= \frac{h}{d_2} \\ \sqrt{3} &= \frac{50\sqrt{3}}{d_2} \\ d_2 &= 50 \text{ মিটার} \end{align*} $$পাখিটির মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব = $d_1 + d_2 = 150 + 50 = 200$ মিটার।
সময় লেগেছে = 2 মিনিট।
গতিবেগ = $\displaystyle\frac{200 \text{ মিটার}}{2 \text{ মিনিট}} = 100 \text{ মিটার/মিনিট}$।
কিলোমিটার প্রতি ঘন্টায় গতিবেগ = $\displaystyle\frac{100 \times 60}{1000} = 6$ কিমি/ঘণ্টা।
20. $5\sqrt{3}$ মিটার উঁচু একটি রেলওয়ে ওভারব্রিজে দাঁড়িয়ে অমিতাদিদি প্রথমে একটি ট্রেনের ইঞ্জিনকে ব্রিজের এপারে 30° অবনতি কোণে দেখলেন। কিন্তু 2 সেকেন্ড পরই ওই ইঞ্জিনকে ব্রিজের ওপারে 45° অবনতি কোণে দেখলেন। ট্রেনটির গতিবেগ মিটার প্রতি সেকেন্ডে হিসাব করে লিখি।
ব্রিজের উচ্চতা $h = 5\sqrt{3}$ মিটার।
প্রথম অবস্থানে (এপারে), অবনতি কোণ 30° (উন্নতি কোণ হিসেবে $30^\circ$)। অনুভূমিক দূরত্ব $d_1$ হলে:
$$ \begin{align*} \tan 30^\circ &= \frac{h}{d_1} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} &= \frac{5\sqrt{3}}{d_1} \\ d_1 &= 5 \times 3 = 15 \text{ মিটার} \end{align*} $$দ্বিতীয় অবস্থানে (ওপারে), অবনতি কোণ 45° (উন্নতি কোণ হিসেবে $45^\circ$)। অনুভূমিক দূরত্ব $d_2$ হলে:
$$ \begin{align*} \tan 45^\circ &= \frac{h}{d_2} \\ 1 &= \frac{5\sqrt{3}}{d_2} \\ d_2 &= 5\sqrt{3} \text{ মিটার} \end{align*} $$ট্রেনটির 2 সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব = $d_1 + d_2 = 15 + 5\sqrt{3}$ মিটার।
গতিবেগ = $\displaystyle\frac{\text{অতিক্রান্ত দূরত্ব}}{\text{সময়}} = \frac{15 + 5\sqrt{3}}{2}$ মিটার/সেকেন্ড।
21. একটি নদীর পাড়ের সঙ্গে লম্বভাবে একটি সেতু আছে। সেতুটির একটি পাড়ের প্রান্ত থেকে নদীর পাড় ধরে কিছু দূর গেলে সেতুর অপর প্রান্তটি 45° কোণে দেখা যায় এবং পাড় ধরে আরও 400 মিটার দূরে সরে গেলে সেই প্রান্তটি 30° কোণে দেখা যায়। সেতুটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
ধরি, সেতুর দৈর্ঘ্য $w$ মিটার। প্রথম বিন্দুর দূরত্ব $x$ মিটার।
প্রথম ক্ষেত্রে (45° কোণ):
$$ \begin{align*} \tan 45^\circ &= \frac{w}{x} \\ 1 &= \frac{w}{x} \implies x = w \end{align*} $$দ্বিতীয় ক্ষেত্রে (আরও 400 মিটার দূরে, অর্থাৎ দূরত্ব $x + 400$):
$$ \begin{align*} \tan 30^\circ &= \frac{w}{x + 400} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} &= \frac{w}{w + 400} \quad [\text{যেহেতু } x = w] \\ w\sqrt{3} &= w + 400 \\ w\sqrt{3} - w &= 400 \\ w(\sqrt{3} - 1) &= 400 \\ w &= \frac{400}{\sqrt{3} - 1} \end{align*} $$হরের করণী নিরসন করে পাই:
$$ \begin{align*} w &= \frac{400(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} \\ &= \frac{400(\sqrt{3} + 1)}{2} = 200(\sqrt{3} + 1) \end{align*} $$22. একটি পার্কের একপ্রান্তে অবস্থিত 15 মিটার উঁচু একটি বাড়ির ছাদ থেকে পার্কের অপর পারে অবস্থিত একটি ইটভাটার চিমনির পাদদেশ ও অগ্রভাগ যথাক্রমে 30° অবনতি কোণ ও 60° উন্নতি কোণে দেখা যায়। ইটভাটার চিমনির উচ্চতা এবং ইটভাটা ও বাড়ির মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় করি।
বাড়ির উচ্চতা $h_1 = 15$ মিটার। ধরি, বাড়ি ও চিমনির দূরত্ব $d$ মিটার।
বাড়ির ছাদ থেকে চিমনির পাদদেশের অবনতি কোণ 30°।
$$ \begin{align*} \tan 30^\circ &= \frac{h_1}{d} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} &= \frac{15}{d} \\ d &= 15\sqrt{3} \text{ মিটার} \end{align*} $$বাড়ির ছাদ থেকে চিমনির অগ্রভাগের উন্নতি কোণ 60°। ছাদের স্তর থেকে চিমনির বাকি উপরের অংশের উচ্চতা ধরি $h_2$।
$$ \begin{align*} \tan 60^\circ &= \frac{h_2}{d} \\ \sqrt{3} &= \frac{h_2}{15\sqrt{3}} \\ h_2 &= 15\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 45 \text{ মিটার} \end{align*} $$চিমনির মোট উচ্চতা = $h_1 + h_2 = 15 + 45 = 60$ মিটার।
23. একটি উড়োজাহাজ থেকে রাস্তায় পরপর দুটি কিলোমিটার ফলকের অবনতি কোণ যথাক্রমে 60° ও 30° হলে, উড়োজাহাজটির উচ্চতা নির্ণয় করি, (i) যখন ফলক দুটি উড়োজাহাজের বিপরীত পাশে অবস্থিত, (ii) যখন ফলক দুটি উড়োজাহাজের একই পাশে অবস্থিত।
(i) বিপরীত পাশে অবস্থিত
(ii) একই পাশে অবস্থিত
পরপর দুটি কিলোমিটার ফলকের দূরত্ব = 1 কিলোমিটার = 1000 মিটার।
ধরি, উড়োজাহাজের উচ্চতা $h$ মিটার।
(i) বিপরীত পাশে অবস্থিত হলে:
ধরি, প্রথম ফলকের দূরত্ব $x$ এবং দ্বিতীয়টির $(1000 - x)$।
$$ \begin{align*} \tan 60^\circ &= \frac{h}{x} \implies x = \frac{h}{\sqrt{3}} \\ \tan 30^\circ &= \frac{h}{1000 - x} \implies 1000 - x = h\sqrt{3} \end{align*} $$যোগ করে পাই: $x + 1000 - x = \displaystyle\frac{h}{\sqrt{3}} + h\sqrt{3}$
$$ \begin{align*} 1000 &= \frac{h + 3h}{\sqrt{3}} = \frac{4h}{\sqrt{3}} \\ 4h &= 1000\sqrt{3} \\ h &= 250\sqrt{3} \text{ মিটার} \end{align*} $$(ii) একই পাশে অবস্থিত হলে:
ধরি, কাছের ফলকের দূরত্ব $x$ এবং দূরেরটির $(x + 1000)$।
$$ \begin{align*} \tan 60^\circ &= \frac{h}{x} \implies x = \frac{h}{\sqrt{3}} \\ \tan 30^\circ &= \frac{h}{x + 1000} \implies x + 1000 = h\sqrt{3} \end{align*} $$বিয়োগ করে পাই: $(x + 1000) - x = h\sqrt{3} - \displaystyle\frac{h}{\sqrt{3}}$
$$ \begin{align*} 1000 &= \frac{3h - h}{\sqrt{3}} = \frac{2h}{\sqrt{3}} \\ 2h &= 1000\sqrt{3} \\ h &= 500\sqrt{3} \text{ মিটার} \end{align*} $$24. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.)
(i) মাঠের উপর একটি বিন্দু থেকে মোবাইল টাওয়ারের চূড়ার উন্নতি কোণ 60° এবং টাওয়ারের গোড়া থেকে ওই বিন্দুর দূরত্ব 10 মিটার। টাওয়ারের উচ্চতা:$\tan 60^\circ = \displaystyle\frac{h}{10} \implies \sqrt{3} = \frac{h}{10} \implies h = 10\sqrt{3}$
$\tan \theta = \displaystyle\frac{5}{5\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies \theta = 30^\circ$
লম্ব = ভূমি হলে $\tan \theta = 1 \implies \theta = 45^\circ$
$\tan \theta = \displaystyle\frac{100\sqrt{3}}{100} = \sqrt{3} \implies \theta = 60^\circ$
$\tan \theta = \displaystyle\frac{h}{h\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies \theta = 30^\circ$
(B) সত্য বা মিথ্যা লিখি:
(i) $\triangle ABC$ এর $\angle B=90^\circ$, AB=BC হলে, $\angle C=60^\circ$যুক্তি: সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে লম্ব ও ভূমি সমান হলে অপর কোণগুলি 45° হয়।
(C) শূন্যস্থান পূরণ করি:
(i) সূর্যের উন্নতি কোণ 30° থেকে বৃদ্ধি পেয়ে 60° হলে, একটি পোস্টের ছায়ার দৈর্ঘ্য _________ পায়।সূর্য যত ওপরে উঠবে (উন্নতি কোণ বাড়বে), ছায়া তত ছোট হবে।
উত্তর: হ্রাস
$\tan 45^\circ = 1$, তাই লম্ব = ভূমি।
উত্তর: সমান
25. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) একটি ঘুড়ির উন্নতি কোণ 60° এবং সুতোর দৈর্ঘ্য $20\sqrt{3}$ মিটার হলে, ঘুড়িটি মাটি থেকে কত উচ্চতায় আছে হিসাব করি।$\sin 60^\circ = \displaystyle\frac{h}{20\sqrt{3}} \implies \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{20\sqrt{3}} \implies h = \frac{20\sqrt{3} \times \sqrt{3}}{2} = 30$
$\sin C = \displaystyle\frac{AB}{AC} = \frac{50\sqrt{3}}{100} = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies \angle C = 60^\circ$
$\tan \theta = \displaystyle\frac{\text{উচ্চতা}}{\text{ছায়ার দৈর্ঘ্য}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies \theta = 30^\circ$