ব্যাসার্ধ = $r$, উচ্চতা = $h$, তির্যক উচ্চতা = $l$ হলে,
১) $l^2 = h^2 + r^2$
২) পার্শ্বতল বা বক্রতলের ক্ষেত্রফল = $\pi r l$ বর্গ একক
৩) সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = $\pi r(r + l)$ বর্গ একক
৪) আয়তন বা ঘনফল = $\displaystyle\frac{1}{3}\pi r^2 h$ ঘন একক
1. আমি একটি মুখবদ্ধ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু তৈরি করেছি যার ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 15 সেমি. এবং তির্যক উচ্চতা 24 সেমি.। ওই শঙ্কুর পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল ও সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।
শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধ ($r$) = 15 সেমি.
তির্যক উচ্চতা ($l$) = 24 সেমি.
পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল:
$$ \begin{align*} &= \pi r l \\ &= \frac{22}{7} \times 15 \times 24 \\ &= \frac{7920}{7} \\ &= 1131\frac{3}{7} \text{ বর্গ সেমি.} \end{align*} $$সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল:
$$ \begin{align*} &= \pi r (r + l) \\ &= \frac{22}{7} \times 15 \times (15 + 24) \\ &= \frac{22}{7} \times 15 \times 39 \\ &= \frac{12870}{7} \\ &= 1838\frac{4}{7} \text{ বর্গ সেমি.} \end{align*} $$2. শঙ্কুর আয়তন নির্ণয় করি যখন, (i) ভূমির ক্ষেত্রফল 1.54 বর্গ মিটার এবং উচ্চতা 2.4 মিটার, (ii) ভূমির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 21 মিটার এবং তির্যক উচ্চতা 17.5 মিটার।
ভূমির ক্ষেত্রফল ($\pi r^2$) = 1.54 বর্গ মিটার।
উচ্চতা ($h$) = 2.4 মিটার।
শঙ্কুর আয়তন = $\displaystyle\frac{1}{3} \times \text{ভূমির ক্ষেত্রফল} \times \text{উচ্চতা}$
$$ \begin{align*} &= \frac{1}{3} \times 1.54 \times 2.4 \\ &= 1.54 \times 0.8 \\ &= 1.232 \text{ ঘন মিটার} \end{align*} $$সমাধান (ii)
ভূমির ব্যাস = 21 মিটার $\implies$ ব্যাসার্ধ ($r$) = $\displaystyle\frac{21}{2} = 10.5$ মিটার।
তির্যক উচ্চতা ($l$) = 17.5 মিটার।
আমরা জানি, $l^2 = r^2 + h^2 \implies h = \sqrt{l^2 - r^2}$
$$ \begin{align*} h &= \sqrt{17.5^2 - 10.5^2} \\ &= \sqrt{(17.5 + 10.5)(17.5 - 10.5)} \\ &= \sqrt{28 \times 7} \\ &= \sqrt{196} = 14 \text{ মিটার} \end{align*} $$শঙ্কুর আয়তন = $\displaystyle\frac{1}{3}\pi r^2 h$
$$ \begin{align*} &= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (10.5)^2 \times 14 \\ &= \frac{1}{3} \times 22 \times 110.25 \times 2 \\ &= \frac{44 \times 110.25}{3} \\ &= 44 \times 36.75 \\ &= 1617 \text{ ঘন মিটার} \end{align*} $$3. আমিনা একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন করেছে যার সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুটির দৈর্ঘ্য 15 সেমি. ও 20 সেমি.। 15 সেমি. দীর্ঘ বাহুটিকে অক্ষ ধরে ত্রিভুজটিকে একবার পূর্ণ আবর্তন করলে যে ঘনবস্তু তৈরি হয়, তার পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল, সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল এবং আয়তন নির্ণয় করি।
15 সেমি দীর্ঘ বাহুকে অক্ষ ধরে আবর্তন করলে যে শঙ্কুটি তৈরি হবে, তার উচ্চতা ($h$) হবে 15 সেমি এবং ভূমির ব্যাসার্ধ ($r$) হবে 20 সেমি।
শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা ($l$) = $\sqrt{h^2 + r^2}$
$$ \begin{align*} l &= \sqrt{15^2 + 20^2} \\ &= \sqrt{225 + 400} \\ &= \sqrt{625} = 25 \text{ সেমি.} \end{align*} $$পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল:
$$ \begin{align*} \pi r l &= \frac{22}{7} \times 20 \times 25 \\ &= \frac{11000}{7} = 1571\frac{3}{7} \text{ বর্গ সেমি.} \end{align*} $$সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল:
$$ \begin{align*} \pi r (r + l) &= \frac{22}{7} \times 20 \times (20 + 25) \\ &= \frac{22}{7} \times 20 \times 45 \\ &= \frac{19800}{7} = 2828\frac{4}{7} \text{ বর্গ সেমি.} \end{align*} $$আয়তন:
$$ \begin{align*} \frac{1}{3}\pi r^2 h &= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 20^2 \times 15 \\ &= \frac{22}{7} \times 400 \times 5 \\ &= \frac{44000}{7} = 6285\frac{5}{7} \text{ ঘন সেমি.} \end{align*} $$4. কোনো শঙ্কুর উচ্চতা ও তির্যক উচ্চতা যথাক্রমে 6 সেমি. ও 10 সেমি. হলে, শঙ্কুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয় করি।
উচ্চতা ($h$) = 6 সেমি, তির্যক উচ্চতা ($l$) = 10 সেমি।
ব্যাসার্ধ ($r$) = $\sqrt{l^2 - h^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ সেমি।
সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল:
$$ \begin{align*} \pi r(r + l) &= \frac{22}{7} \times 8 \times (8 + 10) \\ &= \frac{22}{7} \times 8 \times 18 \\ &= \frac{3168}{7} = 452\frac{4}{7} \text{ বর্গ সেমি.} \end{align*} $$আয়তন:
$$ \begin{align*} \frac{1}{3}\pi r^2 h &= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 8^2 \times 6 \\ &= \frac{22}{7} \times 64 \times 2 \\ &= \frac{2816}{7} = 402\frac{2}{7} \text{ ঘন সেমি.} \end{align*} $$5. কোনো লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন $100\pi$ ঘন সেমি. এবং উচ্চতা 12 সেমি. হলে, শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
উচ্চতা ($h$) = 12 সেমি। ধরি, ব্যাসার্ধ = $r$ সেমি।
শর্তানুসারে, আয়তন = $100\pi$
$$ \begin{align*} \frac{1}{3}\pi r^2 h &= 100\pi \\ \frac{1}{3} \times r^2 \times 12 &= 100 \quad [\text{উভয়পক্ষ থেকে } \pi \text{ বাদ দিয়ে}] \\ 4r^2 &= 100 \\ r^2 &= \frac{100}{4} = 25 \\ r &= \sqrt{25} = 5 \text{ সেমি.} \end{align*} $$তির্যক উচ্চতা ($l$) = $\sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ সেমি।
6. লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির একটি তাঁবু তৈরি করতে 77 বর্গ মিটার ত্রিপল লেগেছে। তাঁবুটির তির্যক উচ্চতা যদি 7 মিটার হয়, তবে তাঁবুটির ভূমিতলের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।
তাঁবু তৈরি করতে যে ত্রিপল লাগে তা হলো তাঁবুর পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল।
তির্যক উচ্চতা ($l$) = 7 মিটার। ধরি, ব্যাসার্ধ = $r$ মিটার।
পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল = $\pi r l = 77$
$$ \begin{align*} \frac{22}{7} \times r \times 7 &= 77 \\ 22r &= 77 \\ r &= \frac{77}{22} = 3.5 \text{ মিটার} \end{align*} $$তাঁবুটির ভূমিতলের ক্ষেত্রফল = $\pi r^2$
$$ \begin{align*} &= \frac{22}{7} \times (3.5)^2 \\ &= \frac{22}{7} \times 12.25 \\ &= 22 \times 1.75 \\ &= 38.5 \text{ বর্গ মিটার} \end{align*} $$7. একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাস 21 মিটার এবং উচ্চতা 14 মিটার। প্রতি বর্গ মিটার 1.50 টাকা হিসাবে পার্শ্বতল রং করতে কত টাকা খরচ পড়বে হিসাব করি।
ব্যাস = 21 মিটার $\implies$ ব্যাসার্ধ ($r$) = 10.5 মিটার।
উচ্চতা ($h$) = 14 মিটার।
তির্যক উচ্চতা ($l$) = $\sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{10.5^2 + 14^2} = \sqrt{110.25 + 196} = \sqrt{306.25} = 17.5$ মিটার।
পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল = $\pi r l$
$$ \begin{align*} &= \frac{22}{7} \times 10.5 \times 17.5 \\ &= 22 \times 1.5 \times 17.5 \\ &= 33 \times 17.5 \\ &= 577.5 \text{ বর্গ মিটার} \end{align*} $$রং করার মোট খরচ = ক্ষেত্রফল $\times$ প্রতি বর্গ মিটারের খরচ
$$ \begin{align*} &= 577.5 \times 1.50 \\ &= 866.25 \text{ টাকা} \end{align*} $$8. নিরেট শঙ্কু আকৃতির একটি কাঠের খেলনার ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 10 সেমি.। খেলনাটির বক্রতলে প্রতি বর্গ সেমি. 2.10 টাকা হিসাবে পালিশ করতে 429 টাকা খরচ পড়ে। খেলনাটির উচ্চতা কত হিসাব করি। খেলনাটি তৈরি করতে কত ঘন সেমি. কাঠ লেগেছে নির্ণয় করি।
খেলনাটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল = $\displaystyle\frac{\text{মোট খরচ}}{\text{প্রতি বর্গ সেমি. খরচ}} = \frac{429}{2.10} = \frac{4290}{21} = \frac{1430}{7}$ বর্গ সেমি।
ব্যাস = 10 সেমি $\implies$ ব্যাসার্ধ ($r$) = 5 সেমি। ধরি তির্যক উচ্চতা = $l$ সেমি।
$$ \begin{align*} \pi r l &= \frac{1430}{7} \\ \frac{22}{7} \times 5 \times l &= \frac{1430}{7} \\ 110 \times l &= 1430 \\ l &= \frac{1430}{110} = 13 \text{ সেমি.} \end{align*} $$খেলনাটির উচ্চতা ($h$) = $\sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ সেমি।
খেলনাটির আয়তন (কাঠের পরিমাণ) = $\displaystyle\frac{1}{3}\pi r^2 h$
$$ \begin{align*} &= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 5^2 \times 12 \\ &= \frac{22}{7} \times 25 \times 4 \\ &= \frac{2200}{7} = 314\frac{2}{7} \text{ ঘন সেমি.} \end{align*} $$9. লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির একটি লোহার পাতের বয়া তৈরি করতে $75\frac{3}{7}$ বর্গ মিটার লোহার পাত লেগেছে। বয়াটির তির্যক উচ্চতা যদি 5 মিটার হয়, তবে বয়াটিতে কত বায়ু আছে এবং বয়াটির উচ্চতা কত হিসাব করে লিখি।
ওই বয়াটির চারপাশ রং করতে প্রতি বর্গ মিটার 2.80 টাকা হিসাবে কত খরচ পড়বে নির্ণয় করি। [লোহার পাতের বেধ হিসাবের মধ্যে ধরতে হবে না]
বয়াটি সাধারণত একটি বদ্ধ পাত্র (মুখবন্ধ), তাই লোহার পাত বলতে এর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল বোঝানো হয়েছে।
সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = $75\frac{3}{7} = \displaystyle\frac{528}{7}$ বর্গ মিটার।
তির্যক উচ্চতা ($l$) = 5 মিটার। ধরি, ব্যাসার্ধ = $r$ মিটার।
$$ \begin{align*} \pi r (r + l) &= \frac{528}{7} \\ \frac{22}{7} r (r + 5) &= \frac{528}{7} \\ r^2 + 5r &= \frac{528}{22} \\ r^2 + 5r &= 24 \\ r^2 + 5r - 24 &= 0 \end{align*} $$উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই:
$$ \begin{align*} r^2 + 8r - 3r - 24 &= 0 \\ r(r + 8) - 3(r + 8) &= 0 \\ (r + 8)(r - 3) &= 0 \end{align*} $$হয় $r = -8$ (অসম্ভব), অথবা $r = 3$। $\therefore$ ব্যাসার্ধ = 3 মিটার।
উচ্চতা ($h$) = $\sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ মিটার।
বয়াটিতে থাকা বায়ুর আয়তন = $\displaystyle\frac{1}{3}\pi r^2 h$
$$ \begin{align*} &= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 3^2 \times 4 \\ &= \frac{22 \times 3 \times 4}{7} = \frac{264}{7} = 37\frac{5}{7} \text{ ঘন মিটার.} \end{align*} $$বয়াটির চারপাশ (অর্থাৎ বাইরের সমগ্র অংশ) রং করতে খরচ হবে = সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $\times$ 2.80
খরচ = $\displaystyle\frac{528}{7} \times 2.80 = 528 \times 0.40 = 211.20$ টাকা।
10. লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির একটি তাঁবুতে 11 জন লোক থাকতে পারে। প্রত্যেক লোকের জন্য ভূমিতে 4 বর্গ মিটার জায়গা লাগে এবং 20 ঘন মিটার বাতাসের প্রয়োজন। ঠিক এই 11 জন লোকের জন্য নির্মিত তাঁবুর উচ্চতা নির্ণয় করি।
11 জন লোকের জন্য ভূমিতে মোট জায়গা লাগে = $11 \times 4 = 44$ বর্গ মিটার।
সুতরাং, তাঁবুর ভূমির ক্ষেত্রফল ($\pi r^2$) = 44 বর্গ মিটার।
11 জন লোকের জন্য মোট বাতাসের প্রয়োজন = $11 \times 20 = 220$ ঘন মিটার।
সুতরাং, তাঁবুর আয়তন ($\frac{1}{3}\pi r^2 h$) = 220 ঘন মিটার।
$$ \begin{align*} \frac{1}{3} \times (\pi r^2) \times h &= 220 \\ \frac{1}{3} \times 44 \times h &= 220 \\ 44h &= 660 \\ h &= \frac{660}{44} = 15 \end{align*} $$11. শোলা দিয়ে তৈরি একটি শঙ্কু আকৃতির মাথার টোপরের ভূমির বাইরের দিকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 21 সেমি.। টোপরটির উপরিভাগ রাংতা দিয়ে মুড়তে প্রতি বর্গ সেমি. 10 পয়সা হিসাবে 57.75 টাকা খরচ পড়ে। টোপরটির উচ্চতা ও তির্যক উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
প্রতি বর্গ সেমি খরচ = 10 পয়সা = 0.10 টাকা।
টোপরটির উপরিভাগের ক্ষেত্রফল (পার্শ্বতল) = $\displaystyle\frac{\text{মোট খরচ}}{\text{প্রতি বর্গ সেমির খরচ}} = \frac{57.75}{0.10} = 577.5$ বর্গ সেমি।
ভূমির ব্যাস = 21 সেমি $\implies$ ব্যাসার্ধ ($r$) = 10.5 সেমি।
ধরি, তির্যক উচ্চতা = $l$ সেমি।
$$ \begin{align*} \pi r l &= 577.5 \\ \frac{22}{7} \times 10.5 \times l &= 577.5 \\ 22 \times 1.5 \times l &= 577.5 \\ 33l &= 577.5 \\ l &= \frac{577.5}{33} = 17.5 \text{ সেমি.} \end{align*} $$উচ্চতা ($h$) = $\sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{17.5^2 - 10.5^2}$
$$ \begin{align*} &= \sqrt{(17.5 + 10.5)(17.5 - 10.5)} \\ &= \sqrt{28 \times 7} \\ &= \sqrt{196} = 14 \text{ সেমি.} \end{align*} $$12. গমের একটি স্তূপ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকারে আছে, যার ভূমির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 9 মিটার এবং উচ্চতা 3.5 মিটার। মোট গমের আয়তন নির্ণয় করি। গমের ওই স্তূপ ঢাকতে কমপক্ষে কত বর্গ মিটার প্লাস্টিকের চাদর প্রয়োজন হবে হিসাব করে দেখি। [ধরি, $\pi = 3.14$, $\sqrt{130} = 11.4$]
গমের স্তূপের ব্যাস = 9 মিটার $\implies$ ব্যাসার্ধ ($r$) = 4.5 মিটার।
উচ্চতা ($h$) = 3.5 মিটার।
গমের আয়তন:
$$ \begin{align*} V &= \frac{1}{3}\pi r^2 h \\ &= \frac{1}{3} \times 3.14 \times (4.5)^2 \times 3.5 \\ &= \frac{1}{3} \times 3.14 \times 20.25 \times 3.5 \\ &= 3.14 \times 6.75 \times 3.5 \\ &= 74.1825 \text{ ঘন মিটার} \end{align*} $$প্লাস্টিকের চাদরের ক্ষেত্রফল:
স্তূপ ঢাকতে তার পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফলের সমান চাদর লাগবে।
তির্যক উচ্চতা ($l$) = $\sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{4.5^2 + 3.5^2} = \sqrt{20.25 + 12.25} = \sqrt{32.5}$
লক্ষ্য করি, $\sqrt{32.5} = \sqrt{\displaystyle\frac{130}{4}} = \displaystyle\frac{\sqrt{130}}{2} = \frac{11.4}{2} = 5.7$ মিটার।
পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল = $\pi r l = 3.14 \times 4.5 \times 5.7 = 80.541$ বর্গ মিটার।
13. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.)
(i) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা 15 সেমি. এবং ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 16 সেমি. হলে, শঙ্কুটির পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফলব্যাসার্ধ ($r$) = $\displaystyle\frac{16}{2} = 8$ সেমি। তির্যক উচ্চতা ($l$) = 15 সেমি।
পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল = $\pi r l = \pi \times 8 \times 15 = 120\pi$ বর্গ সেমি।
$\displaystyle\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{1}{3}\pi r_1^2 h_1}{\frac{1}{3}\pi r_2^2 h_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 \times \frac{h_1}{h_2}$
$\displaystyle\frac{1}{4} = \left(\frac{4}{5}\right)^2 \times \frac{h_1}{h_2} \implies \frac{1}{4} = \frac{16}{25} \times \frac{h_1}{h_2} \implies \frac{h_1}{h_2} = \frac{1}{4} \times \frac{25}{16} = \frac{25}{64}$
প্রাথমিক আয়তন $V = \displaystyle\frac{1}{3}\pi r^2 h$
নতুন আয়তন $V' = \displaystyle\frac{1}{3}\pi r^2 (2h) = 2V$
আয়তন বৃদ্ধি = $2V - V = V$। শতকরা বৃদ্ধি = $\displaystyle\frac{V}{V} \times 100\% = 100\%$
নতুন আয়তন = $\displaystyle\frac{1}{3}\pi (2r)^2 (2h) = \frac{1}{3}\pi (4r^2) (2h) = 8 \left(\frac{1}{3}\pi r^2 h\right) = 8V$
সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = $\pi \times (\text{নতুন ব্যাসার্ধ}) \times (\text{নতুন ব্যাসার্ধ} + \text{নতুন তির্যক উচ্চতা})$
$= \displaystyle\pi \left(\frac{r}{2}\right) \left(\frac{r}{2} + 2l\right) = \pi r \left(\frac{r}{4} + l\right) = \pi r \left(l + \frac{r}{4}\right)$
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি:
(i) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য অর্ধেক এবং উচ্চতা দ্বিগুণ করা হলে শঙ্কুটির আয়তন একই থাকে।নতুন আয়তন = $\displaystyle\frac{1}{3}\pi \left(\frac{r}{2}\right)^2 (2h) = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{r^2}{4}\right) 2h = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{3}\pi r^2 h\right)$। অর্থাৎ আয়তন অর্ধেক হয়ে যায়, একই থাকে না।
যুক্তি: শঙ্কুর ক্ষেত্রে $l^2 = r^2 + h^2$ সর্বদা সত্য, যা পিথাগোরাসের উপপাদ্য মেনে চলে এবং একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে।
(C) শূন্যস্থান পূরণ করি:
(i) ABC সমকোণী ত্রিভুজের AC অতিভুজ। AB বাহুকে অক্ষ করে ত্রিভুজটির একবার পূর্ণ আবর্তনের জন্য যে লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু উৎপন্ন হয় তার ব্যাসার্ধ _________ ।AB কে অক্ষ ধরলে BC বাহুটি চারদিকে ঘুরে বৃত্তাকার ভূমি তৈরি করবে। তাই ব্যাসার্ধ হবে BC।
উত্তর: BC
আমরা জানি, $V = \displaystyle\frac{1}{3} \times A \times h \implies h = \frac{3V}{A}$
উত্তর: $\displaystyle\frac{3V}{A}$
চোঙের আয়তন = $\pi r^2 h$, শঙ্কুর আয়তন = $\displaystyle\frac{1}{3}\pi r^2 h$। অনুপাত = $1 : \displaystyle\frac{1}{3} = 3 : 1$
উত্তর: 3 : 1
14. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা 12 সেমি. এবং আয়তন 100$\pi$ ঘন সেমি.। শঙ্কুটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।আয়তন = $\displaystyle\frac{1}{3}\pi r^2 h = 100\pi$
$\displaystyle\frac{1}{3} \pi r^2 (12) = 100\pi \implies 4r^2 = 100 \implies r^2 = 25 \implies r = 5$
শর্তানুসারে, $\pi r l = \sqrt{5} \times \pi r^2$
$\implies l = \sqrt{5} r$
উভয়পক্ষ বর্গ করে পাই: $l^2 = 5r^2$
আমরা জানি, $l^2 = h^2 + r^2$।
$$ \begin{align*} h^2 + r^2 &= 5r^2 \\ h^2 &= 4r^2 \\ h &= 2r \implies \frac{h}{r} = \frac{2}{1} \end{align*} $$আমরা জানি, আয়তন $V = \displaystyle\frac{1}{3} \times A \times H$
$$ \begin{align*} V &= \frac{AH}{3} \\ 3V &= AH \\ \frac{AH}{V} &= 3 \end{align*} $$আমরা জানি, $S = \pi r l$ এবং $V = \displaystyle\frac{1}{3}\pi r^2 h \implies \pi r^2 h = 3V$
প্রদত্ত রাশি: $\displaystyle\frac{1}{h^2} + \frac{1}{r^2} = \frac{r^2 + h^2}{h^2 r^2}$
আমরা জানি $r^2 + h^2 = l^2$, তাই: $\displaystyle\frac{l^2}{h^2 r^2}$
লব ও হরকে $\pi^2 r^2$ দিয়ে গুণ করি:
$$ \begin{align*} &= \frac{\pi^2 r^2 l^2}{\pi^2 r^4 h^2} \\ &= \frac{(\pi r l)^2}{(\pi r^2 h)^2} \\ &= \frac{S^2}{(3V)^2} \\ &= \frac{S^2}{9V^2} \end{align*} $$চোঙ এবং শঙ্কুর ব্যাসার্ধের অনুপাত $r_1 : r_2 = 3 : 4 \implies r_1 = 3x, r_2 = 4x$
তাদের উচ্চতার অনুপাত $h_1 : h_2 = 2 : 3 \implies h_1 = 2y, h_2 = 3y$
আয়তনের অনুপাত:
$$ \begin{align*} \frac{V_{\text{চোঙ}}}{V_{\text{শঙ্কু}}} &= \frac{\pi r_1^2 h_1}{\frac{1}{3} \pi r_2^2 h_2} \\ &= \frac{3 \times (3x)^2 \times (2y)}{(4x)^2 \times (3y)} \\ &= \frac{3 \times 9x^2 \times 2y}{16x^2 \times 3y} \\ &= \frac{54}{48} = \frac{9}{8} \end{align*} $$