১) ষষ্টিক পদ্ধতি (Sexagesimal System): $1^\circ$ (ডিগ্রি) = $60'$ (মিনিট), $1'$ (মিনিট) = $60''$ (সেকেন্ড)।
২) বৃত্তীয় পদ্ধতি (Circular System): কোণের পরিমাপ রেডিয়ানে ($^c$) করা হয়।
৩) সম্পর্ক: $180^\circ = \pi^c$
৪) বৃত্তচাপ, ব্যাসার্ধ ও কেন্দ্রস্থ কোণের সম্পর্ক: $S = r\theta$ (যেখানে $\theta$ বৃত্তীয় মানে অর্থাৎ রেডিয়ানে প্রকাশিত)।
1. নিম্নলিখিতগুলিকে ডিগ্রি, মিনিট ও সেকেন্ডে প্রকাশ করি:
(i) 832'আমরা জানি, $60'$ = $1^\circ$।
$$ \begin{align*} 832' &= (832 \div 60)^\circ \\ \text{ভাগফল } &= 13, \text{ ভাগশেষ } = 52 \end{align*} $$অতএব, $832' = 13^\circ 52'$
আমরা জানি, $60''$ = $1'$।
$$ \begin{align*} 6312'' &= (6312 \div 60)' \\ \text{ভাগফল } &= 105, \text{ ভাগশেষ } = 12 \end{align*} $$অতএব, $6312'' = 105' 12''$
আবার, $105'$ কে ডিগ্রিতে প্রকাশ করলে:
$$ \begin{align*} 105' &= (105 \div 60)^\circ \\ \text{ভাগফল } &= 1, \text{ ভাগশেষ } = 45 \end{align*} $$সুতরাং, $105' = 1^\circ 45'$
আমরা জানি, $60''$ = $1'$।
$$ \begin{align*} 375'' &= (375 \div 60)' \\ \text{ভাগফল } &= 6, \text{ ভাগশেষ } = 15 \end{align*} $$$27\frac{1}{12}^\circ = 27^\circ + \left(\displaystyle\frac{1}{12}\right)^\circ$
আমরা জানি, $1^\circ = 60'$।
$$ \begin{align*} \left(\frac{1}{12}\right)^\circ &= \left(\frac{1}{12} \times 60\right)' \\ &= 5' \end{align*} $$$72.04^\circ = 72^\circ + 0.04^\circ$
$0.04^\circ = (0.04 \times 60)' = 2.4'$
$2.4' = 2' + 0.4'$
$0.4' = (0.4 \times 60)'' = 24''$
অতএব, $72.04^\circ = 72^\circ + 2' + 24''$
2. নিম্নলিখিতগুলির বৃত্তীয় মান নির্ণয় করি:
নিয়ম: $180^\circ = \pi^c \implies 1^\circ = \displaystyle\frac{\pi}{180}$ রেডিয়ান।
(i) 60°প্রথমে মিনিটকে ডিগ্রিতে প্রকাশ করি:
$$ \begin{align*} 22^\circ 30' &= 22^\circ + \left(\frac{30}{60}\right)^\circ \\ &= 22^\circ + \frac{1}{2}^\circ \\ &= 22.5^\circ \text{ বা } \frac{45}{2}^\circ \end{align*} $$এখন বৃত্তীয় মানে প্রকাশ করি:
$$ \begin{align*} \frac{45}{2}^\circ &= \frac{45}{2} \times \frac{\pi}{180} \\ &= \frac{45\pi}{360} \\ &= \frac{\pi}{8} \quad [\text{45 দিয়ে কেটে}] \end{align*} $$বৃত্তীয় মানে:
$$ \begin{align*} -\frac{125}{2}^\circ &= -\frac{125}{2} \times \frac{\pi}{180} \\ &= -\frac{125\pi}{360} \\ &= -\frac{25\pi}{72} \quad [\text{5 দিয়ে কেটে}] \end{align*} $$প্রথমে সম্পূর্ণ মানটিকে ডিগ্রিতে প্রকাশ করি:
$$ \begin{align*} 30'' &= \left(\frac{30}{60}\right)' = 0.5' \\ 52' + 0.5' &= 52.5' \\ 52.5' &= \left(\frac{52.5}{60}\right)^\circ = \left(\frac{525}{600}\right)^\circ = \left(\frac{21}{24}\right)^\circ = \frac{7}{8}^\circ \\ 52^\circ + \frac{7}{8}^\circ &= \frac{416 + 7}{8}^\circ = \frac{423}{8}^\circ \end{align*} $$বৃত্তীয় মানে:
$$ \begin{align*} \frac{423}{8}^\circ &= \frac{423}{8} \times \frac{\pi}{180} \\ &= \frac{423\pi}{1440} \\ &= \frac{47\pi}{160} \quad [\text{9 দিয়ে কেটে}] \end{align*} $$প্রথমে মানটিকে ডিগ্রিতে প্রকাশ করি:
$$ \begin{align*} 24'' &= \left(\frac{24}{60}\right)' = \frac{2}{5}' = 0.4' \\ 16' + 0.4' &= 16.4' \\ 16.4' &= \left(\frac{16.4}{60}\right)^\circ = \left(\frac{164}{600}\right)^\circ = \frac{41}{150}^\circ \\ 40^\circ + \frac{41}{150}^\circ &= \frac{6000 + 41}{150}^\circ = \frac{6041}{150}^\circ \end{align*} $$বৃত্তীয় মানে:
$$ \begin{align*} \frac{6041}{150}^\circ &= \frac{6041}{150} \times \frac{\pi}{180} \\ &= \frac{6041\pi}{27000} \end{align*} $$3. $\triangle ABC$-এর AC = BC এবং BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করলাম। যদি $\angle ACD=144^\circ$ হয়, তবে ABC ত্রিভুজের প্রতিটি কোণের বৃত্তীয় মান নির্ণয় করি।
দেওয়া আছে, বহিঃস্থ কোণ $\angle ACD = 144^\circ$।
আমরা জানি, একটি সরলরেখার ওপর উৎপন্ন কোণ $180^\circ$।
$\therefore$ অন্তঃস্থ $\angle ACB = 180^\circ - \angle ACD = 180^\circ - 144^\circ = 36^\circ$।
$\triangle ABC$-তে $AC = BC$ (সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ)।
সুতরাং, সমান বাহুর বিপরীত কোণগুলিও সমান হবে: $\angle CAB = \angle CBA$।
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $180^\circ$।
$$ \begin{align*} \angle CAB + \angle CBA + \angle ACB &= 180^\circ \\ 2\angle CAB + 36^\circ &= 180^\circ \\ 2\angle CAB &= 180^\circ - 36^\circ = 144^\circ \\ \angle CAB &= \frac{144^\circ}{2} = 72^\circ \end{align*} $$অতএব, ত্রিভুজটির কোণ তিনটি হলো: $36^\circ, 72^\circ$ এবং $72^\circ$।
বৃত্তীয় মান:
$\angle ACB = 36^\circ = 36 \times \displaystyle\frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{5}$ রেডিয়ান।
$\angle CAB = \angle CBA = 72^\circ = 72 \times \displaystyle\frac{\pi}{180} = \frac{2\pi}{5}$ রেডিয়ান।
4. একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণ দুটির অন্তর $\displaystyle\frac{2\pi}{5}$ হলে, ষষ্ঠিক পদ্ধতিতে ওই কোণদ্বয়ের মান লিখি।
আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ $90^\circ$। অপর সূক্ষ্মকোণ দুটির সমষ্টি = $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$।
ধরি, সূক্ষ্মকোণ দুটি হলো $x^\circ$ এবং $y^\circ$ ($x > y$)।
তাহলে, $x + y = 90^\circ \quad \dots \text{(i)}$
শর্তানুসারে, কোণ দুটির অন্তর = $\displaystyle\frac{2\pi}{5}$ রেডিয়ান।
ডিগ্রিতে প্রকাশ করলে: $\displaystyle\frac{2\pi}{5} \times \frac{180^\circ}{\pi} = 2 \times 36^\circ = 72^\circ$।
$\therefore x - y = 72^\circ \quad \dots \text{(ii)}$
(i) এবং (ii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই:
$$ \begin{align*} 2x &= 90^\circ + 72^\circ \\ 2x &= 162^\circ \\ x &= \frac{162^\circ}{2} = 81^\circ \end{align*} $$$x$-এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
$$ \begin{align*} 81^\circ + y &= 90^\circ \\ y &= 90^\circ - 81^\circ = 9^\circ \end{align*} $$5. একটি ত্রিভুজের একটি কোণের পরিমাপ 65° এবং দ্বিতীয়টির পরিমাপ $\displaystyle\frac{\pi}{12}$ ; তৃতীয় কোণটির ষষ্ঠিক ও বৃত্তীয় মান হিসাব করে লিখি।
প্রথম কোণ = $65^\circ$
দ্বিতীয় কোণের ষষ্ঠিক মান = $\displaystyle\frac{\pi}{12} = \frac{180^\circ}{12} = 15^\circ$
দুটি কোণের সমষ্টি = $65^\circ + 15^\circ = 80^\circ$
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $180^\circ$।
অতএব, তৃতীয় কোণের ষষ্ঠিক মান = $180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$
তৃতীয় কোণের বৃত্তীয় মান = $100 \times \displaystyle\frac{\pi}{180} = \frac{100\pi}{180} = \frac{5\pi}{9}$ রেডিয়ান।
6. দুটি কোণের সমষ্টি 135° এবং তাদের অন্তর $\displaystyle\frac{\pi}{12}$ হলে, কোণ দুটির ষষ্ঠিক ও বৃত্তীয় মান হিসাব করে লিখি।
ধরি, কোণ দুটি $x^\circ$ এবং $y^\circ$ ($x > y$)।
তাদের সমষ্টি: $x + y = 135^\circ \quad \dots \text{(i)}$
তাদের অন্তর: $\displaystyle\frac{\pi}{12} = \frac{180^\circ}{12} = 15^\circ$
$\therefore x - y = 15^\circ \quad \dots \text{(ii)}$
(i) এবং (ii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই:
$$ \begin{align*} 2x &= 135^\circ + 15^\circ = 150^\circ \\ x &= 75^\circ \end{align*} $$$x$-এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই:
$$ \begin{align*} 75^\circ + y &= 135^\circ \\ y &= 135^\circ - 75^\circ = 60^\circ \end{align*} $$কোণ দুটির বৃত্তীয় মান:
প্রথম কোণ = $75^\circ = 75 \times \displaystyle\frac{\pi}{180} = \frac{5\pi}{12}$ রেডিয়ান।
দ্বিতীয় কোণ = $60^\circ = 60 \times \displaystyle\frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3}$ রেডিয়ান।
7. একটি ত্রিভুজের কোণ তিনটির অনুপাত 2:3:4 হলে, ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণটির বৃত্তীয় মান হিসাব করে লিখি।
ধরি, ত্রিভুজের কোণ তিনটি হলো $2x, 3x$ এবং $4x$।
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $180^\circ$।
$$ \begin{align*} 2x + 3x + 4x &= 180^\circ \\ 9x &= 180^\circ \\ x &= \frac{180^\circ}{9} = 20^\circ \end{align*} $$ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণ = $4x = 4 \times 20^\circ = 80^\circ$।
বৃহত্তম কোণটির বৃত্তীয় মান = $80 \times \displaystyle\frac{\pi}{180} = \frac{80\pi}{180} = \frac{4\pi}{9}$ রেডিয়ান।
8. একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 28 সেমি.। এই বৃত্তে 5.5 সেমি. দৈর্ঘ্যের বৃত্তচাপ দ্বারা ধৃত কেন্দ্রীয় কোণটির বৃত্তীয় মান হিসাব করে লিখি।
আমরা জানি, বৃত্তচাপ ($S$), ব্যাসার্ধ ($r$) এবং কেন্দ্রীয় কোণের বৃত্তীয় মান ($\theta$) -এর মধ্যে সম্পর্কটি হলো: $S = r\theta$
দেওয়া আছে, ব্যাসার্ধ ($r$) = 28 সেমি এবং বৃত্তচাপ ($S$) = 5.5 সেমি।
$$ \begin{align*} \theta &= \frac{S}{r} \\ &= \frac{5.5}{28} \\ &= \frac{55}{280} \\ &= \frac{11}{56} \text{ রেডিয়ান} \end{align*} $$9. একটি বৃত্তের অসমান দৈর্ঘ্যের দুটি চাপ কেন্দ্রে যে কোণ ধারণ করে আছে তার অনুপাত 5:2 এবং দ্বিতীয় কোণটির ষষ্ঠিক মান 30° হলে, প্রথম কোণটির ষষ্ঠিক মান ও বৃত্তীয় মান হিসাব করে লিখি।
আমরা জানি, বৃত্তের কোনো বৃত্তচাপ দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ ওই চাপের দৈর্ঘ্যের সাথে সমানুপাতী।
সুতরাং, কোণ দুটির অনুপাত = 5:2।
ধরি, প্রথম কোণটি $5x$ এবং দ্বিতীয় কোণটি $2x$।
দেওয়া আছে, দ্বিতীয় কোণটির মান = $30^\circ$।
$$ \begin{align*} 2x &= 30^\circ \\ x &= 15^\circ \end{align*} $$অতএব, প্রথম কোণটির ষষ্ঠিক মান = $5x = 5 \times 15^\circ = 75^\circ$।
প্রথম কোণটির বৃত্তীয় মান = $75 \times \displaystyle\frac{\pi}{180} = \frac{75\pi}{180} = \frac{5\pi}{12}$ রেডিয়ান।
10. একটি ঘূর্ণায়মান রশ্মি $-5\frac{1}{12}\pi$ কোণ উৎপন্ন করেছে। রশ্মিটি কোনদিকে কতবার পূর্ণ আবর্তন করেছে এবং তারপরে আরও কত ডিগ্রি কোণ উৎপন্ন করেছে তা হিসাব করে লিখি।
উৎপন্ন কোণ = $-5\frac{1}{12}\pi = -\displaystyle\frac{61\pi}{12}$ রেডিয়ান।
যেহেতু কোণটি ঋণাত্মক (Negative), তাই রশ্মিটি ঘড়ির কাঁটার দিকে (Clockwise) আবর্তন করেছে।
আমরা জানি, 1 বার পূর্ণ আবর্তন মানে $360^\circ$ বা $2\pi$ রেডিয়ান কোণ উৎপন্ন করা।
কোণটিকে পূর্ণ আবর্তনের আকারে ভাঙি:
$$ \begin{align*} -\frac{61\pi}{12} &= -5\pi - \frac{\pi}{12} \\ &= -4\pi - \pi - \frac{\pi}{12} \\ &= -2(2\pi) - \frac{12\pi + \pi}{12} \\ &= -2(2\pi) - \frac{13\pi}{12} \end{align*} $$এখানে $-2(2\pi)$ এর অর্থ হলো রশ্মিটি 2 বার পূর্ণ আবর্তন করেছে।
তারপর আরও $-\displaystyle\frac{13\pi}{12}$ কোণ উৎপন্ন করেছে।
এই অতিরিক্ত কোণটিকে ডিগ্রিতে প্রকাশ করি:
$$ \begin{align*} \frac{13\pi}{12} \text{ রেডিয়ান} &= \frac{13}{12} \times 180^\circ \\ &= 13 \times 15^\circ \\ &= 195^\circ \end{align*} $$11. ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ অঙ্কন করেছি যার সমান বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ $\angle ABC = 45^\circ$; $\angle ABC$-এর সমদ্বিখণ্ডক AC বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করেছে। $\angle ABD, \angle BAD, \angle CBD$ এবং $\angle BCD$-এর বৃত্তীয় মান নির্ণয় করি।
$\triangle ABC$ সমদ্বিবাহু এবং সমান বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ $\angle ABC = 45^\circ$। অর্থাৎ, $AB = BC$।
যেহেতু $AB = BC$, তাই তাদের বিপরীত কোণগুলিও সমান হবে: $\angle BAC = \angle BCA$।
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $180^\circ$।
$$ \begin{align*} \angle BAC + \angle BCA + \angle ABC &= 180^\circ \\ 2\angle BAC + 45^\circ &= 180^\circ \\ 2\angle BAC &= 135^\circ \\ \angle BAC &= 67.5^\circ \end{align*} $$অতএব, $\angle BAD = \angle BAC = 67.5^\circ$ এবং $\angle BCD = \angle BCA = 67.5^\circ$।
দেওয়া আছে, BD হলো $\angle ABC$-এর সমদ্বিখণ্ডক।
$\therefore \angle ABD = \angle CBD = \displaystyle\frac{45^\circ}{2} = 22.5^\circ$।
কোণগুলির বৃত্তীয় মান:
1) $\angle ABD = 22.5^\circ = 22.5 \times \displaystyle\frac{\pi}{180} = \frac{225\pi}{1800} = \frac{\pi}{8}$
2) $\angle BAD = 67.5^\circ = 67.5 \times \displaystyle\frac{\pi}{180} = \frac{675\pi}{1800} = \frac{3\pi}{8}$
3) $\angle CBD = 22.5^\circ = \displaystyle\frac{\pi}{8}$
4) $\angle BCD = 67.5^\circ = \displaystyle\frac{3\pi}{8}$
12. ABC সমবাহু ত্রিভুজের BC ভূমিকে E বিন্দু পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করলাম যেন CE = BC হয়। A, E যুক্ত করে ACE ত্রিভুজের কোণগুলির বৃত্তীয় মান নির্ণয় করি।
$\triangle ABC$ সমবাহু হওয়ায় এর প্রতিটি কোণ $60^\circ$ এবং প্রতিটি বাহু সমান ($AB = BC = CA$)।
$\therefore \angle ACB = 60^\circ$।
B-C-E একটি সরলরেখা। অতএব, $\angle ACE = 180^\circ - \angle ACB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$।
প্রদত্ত শর্তানুসারে, $CE = BC$।
আবার সমবাহু ত্রিভুজ হওয়ায় $AC = BC$।
সুতরাং, $AC = CE$।
$\triangle ACE$-এর দুটি বাহু $AC$ এবং $CE$ সমান হওয়ায় এটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
$\therefore \angle CAE = \angle CEA$।
$\triangle ACE$-এর তিন কোণের সমষ্টি $180^\circ$:
$$ \begin{align*} \angle CAE + \angle CEA + \angle ACE &= 180^\circ \\ 2\angle CAE + 120^\circ &= 180^\circ \\ 2\angle CAE &= 60^\circ \\ \angle CAE &= 30^\circ \end{align*} $$অতএব, $\angle CAE = 30^\circ$ এবং $\angle CEA = 30^\circ$।
কোণগুলির বৃত্তীয় মান:
$\angle ACE = 120^\circ = 120 \times \displaystyle\frac{\pi}{180} = \frac{2\pi}{3}$
$\angle CAE = 30^\circ = 30 \times \displaystyle\frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{6}$
$\angle CEA = 30^\circ = \displaystyle\frac{\pi}{6}$
13. কোনো চতুর্ভুজের তিনটি কোণের পরিমাপ যথাক্রমে $\displaystyle\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}$ ও 90° হলে, চতুর্থ কোণটির ষষ্ঠিক ও বৃত্তীয় মান হিসাব করে লিখি।
প্রথম কোণ = $\displaystyle\frac{\pi}{3} = \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ$
দ্বিতীয় কোণ = $\displaystyle\frac{5\pi}{6} = \frac{5 \times 180^\circ}{6} = 150^\circ$
তৃতীয় কোণ = $90^\circ$
আমরা জানি, চতুর্ভুজের চারটি কোণের সমষ্টি $360^\circ$।
তিনটি কোণের সমষ্টি = $60^\circ + 150^\circ + 90^\circ = 300^\circ$
অতএব, চতুর্থ কোণটির ষষ্ঠিক মান = $360^\circ - 300^\circ = 60^\circ$।
চতুর্থ কোণটির বৃত্তীয় মান = $60 \times \displaystyle\frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3}$ রেডিয়ান।
14. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.)
(i) একটি ঘড়ির মিনিটের কাঁটার প্রান্তবিন্দু 1 ঘণ্টায় আবর্তন করেঘড়ির মিনিটের কাঁটা 1 ঘণ্টায় একবার পূর্ণ আবর্তন করে। ঘড়ির কাঁটার দিকে (Clockwise) আবর্তন করলে কোণ ঋণাত্মক হয়, অর্থাৎ $-360^\circ$ বা $-2\pi$ রেডিয়ান। তবে এখানে শুধু আবর্তনের পরিমাণের কথা বলা হলে তা $2\pi$ রেডিয়ান।
$\displaystyle\frac{\pi}{6} = \frac{180^\circ}{6} = 30^\circ$
সুষম ষড়ভুজের (Hexagon) অন্তঃকোণের সূত্র = $\displaystyle\frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}$
$n=6$ বসালে, অন্তঃকোণ = $\displaystyle\frac{4 \times 180^\circ}{6} = 120^\circ$
$120^\circ$ কে বৃত্তীয় মানে প্রকাশ করলে = $120 \times \displaystyle\frac{\pi}{180} = \frac{2\pi}{3}$
এই সূত্রে $\theta$ সর্বদা বৃত্তীয় পদ্ধতিতে (Circular measure/Radians) পরিমাপ করা হয়।
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি সম্পূরক হয়। $\therefore \angle A + \angle C = 180^\circ$।
$\angle C = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$।
$60^\circ$-এর বৃত্তীয় মান = $\displaystyle\frac{\pi}{3}$।
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি:
(i) একটি রশ্মির প্রান্তবিন্দুকে কেন্দ্র করে রশ্মিটির ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘোরার জন্য উৎপন্ন কোণটি ধনাত্মক।যুক্তি: ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে (Anti-clockwise) ঘুরলে ধনাত্মক (Positive) কোণ এবং ঘড়ির কাঁটার দিকে (Clockwise) ঘুরলে ঋণাত্মক (Negative) কোণ উৎপন্ন হয়।
যুক্তি: ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘুরলে কোণ ঋণাত্মক হয়। দু-বার পূর্ণ আবর্তনের ফলে $-720^\circ$ কোণ উৎপন্ন হবে, $+720^\circ$ নয়।
(C) শূন্যস্থান পূরণ করি:
(i) $\pi$ রেডিয়ান একটি _________ কোণ।উত্তর: ধ্রুবক (Constant)
$\displaystyle 1^c = \frac{180^\circ}{\pi} \approx \frac{180^\circ}{22/7} = \frac{1260^\circ}{22} \approx 57^\circ 16' 22''$
উত্তর: $57^\circ 16' 22''$
দুটি সম্পূরক কোণের সমষ্টি $180^\circ$ বা $\pi$ রেডিয়ান।
অতএব, সম্পূরক কোণ = $\pi - \displaystyle\frac{3\pi}{8} = \frac{8\pi - 3\pi}{8} = \frac{5\pi}{8}$
(বিঃদ্রঃ যদি প্রশ্নে পূরক কোণ থাকতো তবে $\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{8} = \frac{\pi}{8}$ হতো। এখানে সম্পূরক বলা আছে, তাই $\frac{5\pi}{8}$ হবে)।
উত্তর: $\displaystyle\frac{5\pi}{8}$
15. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) একটি কোণের ডিগ্রিতে মান D এবং ওই কোণের রেডিয়ানে মান R হলে, $\displaystyle\frac{R}{D}$ -এর মান নির্ণয় করি।আমরা জানি, $180^\circ = \pi^c \implies 1^\circ = \displaystyle\frac{\pi}{180}$ রেডিয়ান।
অতএব, $D$ ডিগ্রি = $D \times \displaystyle\frac{\pi}{180}$ রেডিয়ান।
প্রশ্নানুসারে, রেডিয়ানে মান $R = \displaystyle\frac{D\pi}{180}$
$$ \begin{align*} \frac{R}{D} &= \frac{\pi}{180} \end{align*} $$দুটি কোণ পূরক হলে তাদের সমষ্টি $90^\circ$ হয়।
আমরা $90^\circ$ কে লিখতে পারি $89^\circ 59' 60''$ হিসেবে।
পূরক কোণ = $89^\circ 59' 60'' - 63^\circ 35' 15''$
$$ \begin{align*} & 89^\circ \; 59' \; 60'' \\ -\;& 63^\circ \; 35' \; 15'' \\ \hline & 26^\circ \; 24' \; 45'' \end{align*} $$প্রথমে প্রদত্ত দুটি কোণ যোগ করি:
$$ \begin{align*} & 65^\circ \; 56' \; 55'' \\ +\;& 64^\circ \;\; 3' \;\; 5'' \\ \hline & 129^\circ \; 59' \; 60'' \end{align*} $$আমরা জানি, $60'' = 1'$। তাই $59' + 1' = 60'$।
আবার, $60' = 1^\circ$। তাই $129^\circ + 1^\circ = 130^\circ$।
দুটি কোণের সমষ্টি = $130^\circ$।
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $180^\circ$ হওয়ায়, তৃতীয় কোণ = $180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$।
বৃত্তীয় মান = $50 \times \displaystyle\frac{\pi}{180} = \frac{5\pi}{18}$ রেডিয়ান।
এখানে বৃত্তচাপ ($S$) = 220 সেমি।
কেন্দ্রীয় কোণ = $63^\circ$। একে বৃত্তীয় মানে (রেডিয়ানে) প্রকাশ করি:
$\theta = 63 \times \displaystyle\frac{\pi}{180} = \frac{7\pi}{20}$ রেডিয়ান।
আমরা জানি, $S = r\theta$ (যেখানে r হলো ব্যাসার্ধ)
$$ \begin{align*} 220 &= r \times \frac{7\pi}{20} \\ 220 &= r \times \frac{7}{20} \times \frac{22}{7} \\ 220 &= r \times \frac{22}{20} \\ r &= \frac{220 \times 20}{22} \\ r &= 10 \times 20 = 200 \end{align*} $$ঘড়ির ঘণ্টার কাঁটা 12 ঘণ্টায় একবার পূর্ণ আবর্তন করে। অর্থাৎ 12 ঘণ্টায় $360^\circ$ বা $2\pi$ কোণ অতিক্রম করে।
অতএব, 1 ঘণ্টায় ঘণ্টার কাঁটা কোণ উৎপন্ন করে = $\displaystyle\frac{360^\circ}{12} = 30^\circ$।
যেহেতু ঘড়ির কাঁটা সর্বদা ঘড়ির কাঁটার দিকে (Clockwise) ঘোরে, তাই উৎপন্ন কোণ ঋণাত্মক হবে।
কোণ = $-30^\circ$।
বৃত্তীয় মানে = $-30 \times \displaystyle\frac{\pi}{180} = -\frac{\pi}{6}$ রেডিয়ান।