যেকোনো সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান হয়।
অর্থাৎ, $\text{অতিভুজ}^2 = \text{লম্ব}^2 + \text{ভূমি}^2$
1. যদি কোনো ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য নিম্নে দেওয়া হয়, তবে কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে হিসাব করে লিখি :
(i) 8 সেমি., 15 সেমি. ও 17 সেমি.সমকোণী ত্রিভুজ হওয়ার শর্ত (পিথাগোরাসের বিপরীত উপপাদ্য): বৃহত্তম বাহুর বর্গ = অপর দুটি বাহুর বর্গের সমষ্টি।
এখানে বৃহত্তম বাহু = 17 সেমি।
$$ \begin{align*} 17^2 &= 289 \\ 8^2 + 15^2 &= 64 + 225 = 289 \end{align*} $$যেহেতু $17^2 = 8^2 + 15^2$, তাই বাহুগুলি একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে।
এখানে বৃহত্তম বাহু = 11 সেমি।
$$ \begin{align*} 11^2 &= 121 \\ 9^2 + 6^2 &= 81 + 36 = 117 \end{align*} $$যেহেতু $11^2 \neq 9^2 + 6^2$ ($121 \neq 117$), তাই এরা সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে না।
2. আমাদের বাড়ির রাস্তায় একটি 15 মিটার লম্বা মই এমনভাবে রাখা আছে যে মইটি ভূমি থেকে 9 মিটার উঁচুতে অবস্থিত জানলার স্পর্শ করেছে। এবার ওই রাস্তায় একই বিন্দুতে মইটির পাদদেশ রেখে মইটিকে ঘুরিয়ে এমনভাবে রাখা হলো যে মইটি রাস্তার অপর প্রান্তে অবস্থিত আমাদের জানলার স্পর্শ করল। আমাদের জানলা যদি ভূমি থেকে 12 মিটার উপরে থাকে, তবে রাস্তার ওই রাস্তাটি কত চওড়া হিসাব করে লিখি।
ধরি, মইটির পাদদেশের অবস্থান O। মইটির দৈর্ঘ্য 15 মিটার।
প্রথম ক্ষেত্রে (রাস্তার একপাশে):
জানলার উচ্চতা = 9 মিটার। মইটি অতিভুজ হিসেবে কাজ করছে।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, রাস্তা থেকে মইয়ের পাদদেশের দূরত্ব (ধরি $x$):
$$ \begin{align*} x^2 + 9^2 &= 15^2 \\ x^2 + 81 &= 225 \\ x^2 &= 225 - 81 = 144 \\ x &= \sqrt{144} = 12 \text{ মিটার} \end{align*} $$দ্বিতীয় ক্ষেত্রে (রাস্তার অপর পাশে):
জানলার উচ্চতা = 12 মিটার। মইয়ের দৈর্ঘ্য একই (15 মি.)।
রাস্তা থেকে পাদদেশের দূরত্ব (ধরি $y$):
$$ \begin{align*} y^2 + 12^2 &= 15^2 \\ y^2 + 144 &= 225 \\ y^2 &= 225 - 144 = 81 \\ y &= \sqrt{81} = 9 \text{ মিটার} \end{align*} $$রাস্তাটির মোট চওড়া = $x + y = 12 + 9 = 21$ মিটার।
3. 10 সেমি. বাহুবিশিষ্ট কোনো রম্বসের একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 12 সেমি. হলে, রম্বসটির অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
আমরা জানি, রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে ($90^\circ$) সমদ্বিখণ্ডিত করে।
রম্বসের প্রতিটি বাহু (অতিভুজ) = 10 সেমি।
একটি কর্ণ 12 সেমি. হওয়ায়, এর অর্ধেক = $\displaystyle\frac{12}{2} = 6$ সেমি।
ধরি, অপর কর্ণটির অর্ধেক = $x$ সেমি।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী:
$$ \begin{align*} x^2 + 6^2 &= 10^2 \\ x^2 + 36 &= 100 \\ x^2 &= 100 - 36 = 64 \\ x &= \sqrt{64} = 8 \text{ সেমি} \end{align*} $$অতএব, সম্পূর্ণ অপর কর্ণটির দৈর্ঘ্য = $2x = 2 \times 8 = 16$ সেমি।
4. একটি ত্রিভুজ PQR অঙ্কন করেছি যার $\angle Q$ সমকোণ। QR বাহুর উপর S যে-কোনো একটি বিন্দু হলে, প্রমাণ করি যে, $PS^2 + QR^2 = PR^2 + QS^2$
সমকোণী $\triangle PQR$-এর ক্ষেত্রে, পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী:
$$PR^2 = PQ^2 + QR^2 \quad \dots \text{(i)}$$আবার সমকোণী $\triangle PQS$-এর ক্ষেত্রে (যেহেতু $\angle Q = 90^\circ$):
$$PS^2 = PQ^2 + QS^2 \quad \dots \text{(ii)}$$(ii) নং সমীকরণ থেকে পাই: $PQ^2 = PS^2 - QS^2$
এই $PQ^2$-এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
$$ \begin{align*} PR^2 &= (PS^2 - QS^2) + QR^2 \\ PR^2 + QS^2 &= PS^2 + QR^2 \end{align*} $$সাজিয়ে লিখলে: $PS^2 + QR^2 = PR^2 + QS^2$
5. প্রমাণ করি, যে-কোনো রম্বসের বাহুগুলির উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের সমষ্টি কর্ণ দুটির উপর অঙ্কিত বর্গ দুটির সমষ্টির সমান হবে।
আমরা জানি, রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
$\therefore \angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle DOA = 90^\circ$
এবং $OA = OC = \displaystyle\frac{AC}{2}$, $OB = OD = \frac{BD}{2}$
সমকোণী $\triangle AOB$-এর ক্ষেত্রে, পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই:
$$ \begin{align*} AB^2 &= OA^2 + OB^2 \\ AB^2 &= \left(\frac{AC}{2}\right)^2 + \left(\frac{BD}{2}\right)^2 \\ AB^2 &= \frac{AC^2}{4} + \frac{BD^2}{4} \\ 4AB^2 &= AC^2 + BD^2 \end{align*} $$যেহেতু রম্বসের চারটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান ($AB = BC = CD = DA$), তাই $4AB^2$-কে লেখা যায়:
$AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2$
অতএব, $AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = AC^2 + BD^2$
6. ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ। $AD \perp BC$ বাহুর উপর লম্ব হলে, প্রমাণ করি যে $AB^2 + BC^2 + CA^2 = 4AD^2$.
সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে ভূমির ওপর লম্ব ভূমিকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
$\therefore D$ হলো BC-এর মধ্যবিন্দু $\implies BD = CD = \displaystyle\frac{BC}{2}$।
যেহেতু ত্রিভুজটি সমবাহু, $AB = BC = CA$।
$\therefore BD = \displaystyle\frac{AB}{2}$।
সমকোণী $\triangle ABD$-এর ক্ষেত্রে, পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী:
$$ \begin{align*} AB^2 &= AD^2 + BD^2 \\ AB^2 &= AD^2 + \left(\frac{AB}{2}\right)^2 \\ AB^2 &= AD^2 + \frac{AB^2}{4} \\ AB^2 - \frac{AB^2}{4} &= AD^2 \\ \frac{3AB^2}{4} &= AD^2 \\ 3AB^2 &= 4AD^2 \end{align*} $$যেহেতু $AB = BC = CA$, তাই $3AB^2$-কে লেখা যায় $AB^2 + BC^2 + CA^2$।
অতএব, $AB^2 + BC^2 + CA^2 = 4AD^2$
7. একটি সমকোণী ত্রিভুজ ABC অঙ্কন করলাম যার $\angle A$ সমকোণ। AB ও AC বাহুর উপর দুটি বিন্দু যথাক্রমে P ও Q নিলাম। P, Q; B, Q ও C, P যুক্ত করে, প্রমাণ করি যে, $BQ^2 + PC^2 = BC^2 + PQ^2$
যেহেতু $\angle A = 90^\circ$, এখানে একাধিক সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি হয়েছে। পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই:
$\triangle ABQ$ থেকে: $BQ^2 = AB^2 + AQ^2 \quad \dots \text{(i)}$
$\triangle APC$ থেকে: $PC^2 = AP^2 + AC^2 \quad \dots \text{(ii)}$
$\triangle ABC$ থেকে: $BC^2 = AB^2 + AC^2 \quad \dots \text{(iii)}$
$\triangle APQ$ থেকে: $PQ^2 = AP^2 + AQ^2 \quad \dots \text{(iv)}$
(i) এবং (ii) যোগ করে পাই (বামপক্ষ):
$$ \begin{align*} BQ^2 + PC^2 &= (AB^2 + AQ^2) + (AP^2 + AC^2) \\ &= (AB^2 + AC^2) + (AP^2 + AQ^2) \end{align*} $$এখন (iii) এবং (iv) এর মান বসিয়ে পাই:
$$ \begin{align*} BQ^2 + PC^2 &= BC^2 + PQ^2 \end{align*} $$8. ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের দুটি কর্ণ পরস্পরকে লম্বভাবে ছেদ করলে, প্রমাণ করি যে, $AB^2 + CD^2 = BC^2 + DA^2$
যেহেতু কর্ণদ্বয় লম্বভাবে ছেদ করেছে, আমরা চারটি সমকোণী ত্রিভুজ পাই: $\triangle APB, \triangle BPC, \triangle CPD, \triangle DPA$।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই:
$\triangle APB$-তে: $AB^2 = AP^2 + BP^2$
$\triangle CPD$-তে: $CD^2 = CP^2 + DP^2$
বামপক্ষ: $AB^2 + CD^2 = (AP^2 + BP^2) + (CP^2 + DP^2) \quad \dots \text{(i)}$
একইভাবে,
$\triangle BPC$-তে: $BC^2 = BP^2 + CP^2$
$\triangle DPA$-তে: $DA^2 = DP^2 + AP^2$
ডানপক্ষ: $BC^2 + DA^2 = (BP^2 + CP^2) + (DP^2 + AP^2) \quad \dots \text{(ii)}$
সমীকরণ (i) এবং (ii) তুলনা করে দেখতে পাচ্ছি উভয়ের ডানদিকের অংশগুলি সম্পূর্ণ এক ($AP^2 + BP^2 + CP^2 + DP^2$)।
$\therefore AB^2 + CD^2 = BC^2 + DA^2$
9. একটি ত্রিভুজ ABC অঙ্কন করেছি যার উচ্চতা AD; $AB > AC$ হলে প্রমাণ করি যে $AB^2 - AC^2 = BD^2 - CD^2$
যেহেতু $AD \perp BC$, তাই $\triangle ABD$ এবং $\triangle ACD$ উভয়েই সমকোণী ত্রিভুজ।
সমকোণী $\triangle ABD$-তে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই:
$$AB^2 = AD^2 + BD^2 \quad \dots \text{(i)}$$সমকোণী $\triangle ACD$-তে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই:
$$AC^2 = AD^2 + CD^2 \quad \dots \text{(ii)}$$(i) নং সমীকরণ থেকে (ii) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই:
$$ \begin{align*} AB^2 - AC^2 &= (AD^2 + BD^2) - (AD^2 + CD^2) \\ &= AD^2 + BD^2 - AD^2 - CD^2 \\ &= BD^2 - CD^2 \end{align*} $$10. $\triangle ABC$-এর শীর্ষবিন্দু B ও C থেকে AC ও AB বাহু দুটির উপর দুটি লম্ব অঙ্কন করেছি যারা পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, $AC^2 + BP^2 = AB^2 + CP^2$
যেহেতু $CD \perp AB$, $\triangle ADC$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
$$AC^2 = AD^2 + CD^2 \quad \dots \text{(i)}$$$\triangle PDB$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ (যেহেতু $\angle PDB = 90^\circ$)।
$$BP^2 = BD^2 + PD^2 \quad \dots \text{(ii)}$$বামপক্ষ: $AC^2 + BP^2 = (AD^2 + CD^2) + (BD^2 + PD^2) \quad \dots \text{(iii)}$
আবার, সমকোণী $\triangle ADB$-তে:
$$AB^2 = AD^2 + BD^2 \quad \dots \text{(iv)}$$সমকোণী $\triangle PDC$-তে:
$$CP^2 = CD^2 + PD^2 \quad \dots \text{(v)}$$ডানপক্ষ: $AB^2 + CP^2 = (AD^2 + BD^2) + (CD^2 + PD^2) \quad \dots \text{(vi)}$
(iii) এবং (vi) সমীকরণ তুলনা করে আমরা দেখতে পাচ্ছি যে উভয়ের যোগফল সমান।
$\therefore AC^2 + BP^2 = AB^2 + CP^2$
11. ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যার $\angle C$ সমকোণ। D, AB-এর উপর যে-কোনো একটি বিন্দু হলে, প্রমাণ করি যে, $AD^2 + DB^2 = 2CD^2$
সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের সমকৌণিক বিন্দু থেকে অতিভুজের ওপর লম্ব অতিভুজকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
$\therefore M$ হলো AB-এর মধ্যবিন্দু। $AM = BM$।
আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের মধ্যবিন্দু থেকে সমকৌণিক বিন্দুর দূরত্ব অতিভুজের অর্ধেক হয়।
$\therefore CM = AM = BM$
সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle CMD$-তে পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী:
$$CD^2 = CM^2 + MD^2 \quad \dots \text{(i)}$$এখন, বামপক্ষ (L.H.S) হিসাব করি: $AD^2 + DB^2$
চিত্রানুযায়ী, $AD = AM - MD$ এবং $DB = BM + MD = AM + MD$ (যেহেতু $AM = BM$)।
$$ \begin{align*} AD^2 + DB^2 &= (AM - MD)^2 + (AM + MD)^2 \\ &= 2(AM^2 + MD^2) \quad [\text{বীজগণিতের সূত্র}] \end{align*} $$যেহেতু $AM = CM$, তাই $AM^2$-এর জায়গায় $CM^2$ বসিয়ে পাই:
$$ \begin{align*} AD^2 + DB^2 &= 2(CM^2 + MD^2) \end{align*} $$(i) নং সমীকরণ থেকে $CD^2 = CM^2 + MD^2$ বসিয়ে পাই:
$$ \begin{align*} AD^2 + DB^2 &= 2CD^2 \end{align*} $$12. ABC ত্রিভুজের $\angle A$ সমকোণ। CD মধ্যমা হলে, প্রমাণ করি যে, $BC^2 = CD^2 + 3AD^2$
সমকোণী $\triangle ABC$-এর ক্ষেত্রে, পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী:
$$BC^2 = AB^2 + AC^2 \quad \dots \text{(i)}$$যেহেতু CD মধ্যমা, তাই D হলো AB-এর মধ্যবিন্দু।
$\therefore AB = 2AD \implies AB^2 = (2AD)^2 = 4AD^2$
সমকোণী $\triangle ACD$-এর ক্ষেত্রে (যেহেতু $\angle A = 90^\circ$):
$$CD^2 = AD^2 + AC^2 \implies AC^2 = CD^2 - AD^2$$এখন $AB^2$ এবং $AC^2$-এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
$$ \begin{align*} BC^2 &= 4AD^2 + (CD^2 - AD^2) \\ BC^2 &= CD^2 + 3AD^2 \end{align*} $$13. ABC ত্রিভুজের অভ্যন্তরে একটি বিন্দু O থেকে BC, CA ও AB বাহুর উপর লম্ব যথাক্রমে OX, OY ও OZ অঙ্কন করেছি। প্রমাণ করি যে, $AZ^2 + BX^2 + CY^2 = AY^2 + CX^2 + BZ^2$
এখানে মোট 6টি সমকোণী ত্রিভুজ উৎপন্ন হয়েছে। পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই:
$\triangle OZA$-তে: $AZ^2 = OA^2 - OZ^2$
$\triangle OXB$-তে: $BX^2 = OB^2 - OX^2$
$\triangle OYC$-তে: $CY^2 = OC^2 - OY^2$
বামপক্ষ (L.H.S) যোগ করে পাই:
$$ AZ^2 + BX^2 + CY^2 = OA^2 + OB^2 + OC^2 - OZ^2 - OX^2 - OY^2 \quad \dots \text{(i)} $$একইভাবে অপর তিনটি সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই:
$\triangle OYA$-তে: $AY^2 = OA^2 - OY^2$
$\triangle OXC$-তে: $CX^2 = OC^2 - OX^2$
$\triangle OZB$-তে: $BZ^2 = OB^2 - OZ^2$
ডানপক্ষ (R.H.S) যোগ করে পাই:
$$ AY^2 + CX^2 + BZ^2 = OA^2 + OC^2 + OB^2 - OY^2 - OX^2 - OZ^2 \quad \dots \text{(ii)} $$সমীকরণ (i) এবং (ii) তুলনা করে দেখতে পাচ্ছি উভয়ের মান সমান।
$\therefore AZ^2 + BX^2 + CY^2 = AY^2 + CX^2 + BZ^2$
14. RST ত্রিভুজের $\angle S$ সমকোণ। RS ও ST বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে X ও Y; প্রমাণ করি যে, $RY^2 + XT^2 = 5XY^2$
যেহেতু X হলো RS-এর মধ্যবিন্দু, $\therefore RS = 2XS$।
যেহেতু Y হলো ST-এর মধ্যবিন্দু, $\therefore ST = 2SY$।
সমকোণী $\triangle RSY$-তে পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী:
$$ \begin{align*} RY^2 &= RS^2 + SY^2 \\ &= (2XS)^2 + SY^2 \\ &= 4XS^2 + SY^2 \quad \dots \text{(i)} \end{align*} $$সমকোণী $\triangle XST$-তে পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী:
$$ \begin{align*} XT^2 &= XS^2 + ST^2 \\ &= XS^2 + (2SY)^2 \\ &= XS^2 + 4SY^2 \quad \dots \text{(ii)} \end{align*} $$(i) এবং (ii) যোগ করে পাই:
$$ \begin{align*} RY^2 + XT^2 &= (4XS^2 + SY^2) + (XS^2 + 4SY^2) \\ &= 5XS^2 + 5SY^2 \\ &= 5(XS^2 + SY^2) \quad \dots \text{(iii)} \end{align*} $$এখন, ছোট সমকোণী $\triangle XSY$-তে: $XY^2 = XS^2 + SY^2$
এই মানটি (iii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
$$ RY^2 + XT^2 = 5XY^2 $$15. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.)
(i) এক ব্যক্তি একটি স্থান থেকে 24 মিটার পশ্চিমদিকে যান এবং তারপর 10 মিটার উত্তর দিকে যান। যাত্রাস্থান থেকে ব্যক্তির দূরত্ব:পশ্চিম এবং উত্তর দিক পরস্পরের সাথে সমকোণ তৈরি করে। তাই এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে।
দূরত্ব (অতিভুজ) = $\sqrt{24^2 + 10^2} = \sqrt{576 + 100} = \sqrt{676} = 26$ মিটার।
সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা $AD = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \times \text{বাহু}$
এবং $DC = \displaystyle\frac{\text{বাহু}}{2}$ $\implies \text{বাহু} = 2DC$
$AD = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}(2DC) = \sqrt{3}DC \implies AD^2 = 3DC^2$
$AB^2 = 2AC^2 = AC^2 + AC^2$
যেহেতু $AC = BC$, তাই $AB^2 = AC^2 + BC^2$। এটি পিথাগোরাসের উপপাদ্য মেনে চলে।
অতিভুজ AB-এর বিপরীত কোণ $\angle C$ সমকোণ হবে। $\therefore \angle C = 90^\circ$।
শীর্ষদেশের দূরত্বের জন্য সমকোণী ত্রিভুজ গঠিত হয় যার ভূমি 8 মিটার এবং লম্ব = $13 - 7 = 6$ মিটার।
দূরত্ব (অতিভুজ) = $\sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ মিটার।
রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে। অর্ধেক কর্ণগুলি হলো 12 সেমি এবং 5 সেমি।
রম্বসের বাহু (অতিভুজ) = $\sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ সেমি।
পরিসীমা = $4 \times \text{বাহু} = 4 \times 13 = 52$ সেমি।
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি :
(i) একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্যের অনুপাত 3 : 4 : 5 হলে, ত্রিভুজটি সর্বদা সমকোণী ত্রিভুজ হবে।যুক্তি: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$। যেহেতু বাহুগুলি পিথাগোরাসের উপপাদ্য সিদ্ধ করে, তাই এটি সর্বদা সমকোণী ত্রিভুজ।
যুক্তি: কেন্দ্রে সমকোণ উৎপন্ন করলে জ্যা-টি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ হয়, যার লম্ব ও ভূমি উভয়েই 10 সেমি। জ্যা-এর দৈর্ঘ্য = $\sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$ সেমি হবে, 5 সেমি নয়।
(C) শূন্যস্থান পূরণ করি :
(i) একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুটি বাহুর ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের _________ সমান।উত্তর: সমষ্টির
অতিভুজ = $\sqrt{(4\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{2})^2} = \sqrt{32 + 32} = \sqrt{64} = 8$ সেমি।
উত্তর: 8
আয়তক্ষেত্রের কর্ণদ্বয় সমান এবং পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। তাই কর্ণ $AC = BD = 2 \times 6.5 = 13$ সেমি।
$\triangle ABC$-এ $BC = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$ সেমি।
উত্তর: 5
16. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) ABC ত্রিভুজের AB = (2a - 1) সেমি., AC = $2\sqrt{2a}$ সেমি. এবং BC = (2a + 1) সেমি. হলে $\angle BAC$-এর মান লিখি।দুটি ছোট বাহুর বর্গের সমষ্টি নির্ণয় করি:
$$ \begin{align*} AB^2 + AC^2 &= (2a - 1)^2 + (2\sqrt{2a})^2 \\ &= 4a^2 - 4a + 1 + 8a \\ &= 4a^2 + 4a + 1 \\ &= (2a + 1)^2 \end{align*} $$বড় বাহু $BC^2 = (2a + 1)^2$
যেহেতু $AB^2 + AC^2 = BC^2$, তাই পিথাগোরাসের বিপরীত উপপাদ্য অনুযায়ী ত্রিভুজটি সমকোণী, যার অতিভুজ BC।
অতিভুজ BC-এর বিপরীত কোণ হলো $\angle BAC$, যা সমকোণ হবে।
সমকোণী $\triangle POR$-এ, অতিভুজ $PR = \sqrt{OP^2 + OR^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ সেমি।
এখন, সমকোণী $\triangle QPR$-এ $\angle QPR = 90^\circ$ এবং $PQ = 24$ সেমি।
অতিভুজ $QR = \sqrt{PQ^2 + PR^2} = \sqrt{24^2 + 10^2} = \sqrt{576 + 100} = \sqrt{676} = 26$ সেমি।
আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের অভ্যন্তরে যেকোনো বিন্দু O এর জন্য: $OA^2 + OC^2 = OB^2 + OD^2$
মান বসিয়ে পাই:
$$ \begin{align*} 5^2 + OC^2 &= 6^2 + 8^2 \\ 25 + OC^2 &= 36 + 64 \\ 25 + OC^2 &= 100 \\ OC^2 &= 100 - 25 = 75 \\ OC &= \sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3} \end{align*} $$সমকোণী $\triangle ABD$-তে: $AB^2 = AD^2 + BD^2 = 4^2 + 8^2 = 16 + 64 = 80$
সমকোণী $\triangle ADC$-তে: $AC^2 = AD^2 + DC^2 = 4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20$
সম্পূর্ণ বাহু $BC = BD + DC = 8 + 2 = 10$ সেমি।
$\therefore BC^2 = 10^2 = 100$
দেখা যাচ্ছে যে, $AB^2 + AC^2 = 80 + 20 = 100 = BC^2$
যেহেতু পিথাগোরাসের উপপাদ্য সিদ্ধ হচ্ছে, তাই $\triangle ABC$ সমকোণী, যার অতিভুজ BC।
সমকোণী $\triangle ABC$-এ অতিভুজ $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$ সেমি।
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = $\displaystyle\frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা}$
লম্ব এবং ভূমি দিয়ে ক্ষেত্রফল = $\displaystyle\frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$ বর্গ সেমি।
অতিভুজকে ভূমি এবং AD কে উচ্চতা ধরলে ক্ষেত্রফল = $\displaystyle\frac{1}{2} \times BC \times AD = \frac{1}{2} \times 5 \times AD$
উভয় ক্ষেত্রফল সমান:
$$ \begin{align*} \frac{1}{2} \times 5 \times AD &= 6 \\ 5 \times AD &= 12 \\ AD &= \frac{12}{5} = 2.4 \text{ সেমি.} \end{align*} $$