পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের মূল সূত্রসমূহ:
দুটি কোণের সমষ্টি $90^\circ$ হলে তাদের পরস্পর পূরক কোণ বলা হয়।১) $\sin(90^\circ - \theta) = \cos\theta$ এবং $\cos(90^\circ - \theta) = \sin\theta$
২) $\tan(90^\circ - \theta) = \cot\theta$ এবং $\cot(90^\circ - \theta) = \tan\theta$
৩) $\text{cosec}(90^\circ - \theta) = \sec\theta$ এবং $\sec(90^\circ - \theta) = \text{cosec}\theta$
1. মান নির্ণয় করি :
(i) $\displaystyle\frac{\sin 38^\circ}{\cos 52^\circ}$আমরা জানি, $\cos \theta = \sin(90^\circ - \theta)$
$$ \begin{align*} \frac{\sin 38^\circ}{\cos 52^\circ} &= \frac{\sin 38^\circ}{\sin(90^\circ - 52^\circ)} \\ &= \frac{\sin 38^\circ}{\sin 38^\circ} \\ &= 1 \end{align*} $$আমরা জানি, $\sec \theta = \text{cosec}(90^\circ - \theta)$
$$ \begin{align*} \frac{\text{cosec } 79^\circ}{\sec 11^\circ} &= \frac{\text{cosec } 79^\circ}{\text{cosec}(90^\circ - 11^\circ)} \\ &= \frac{\text{cosec } 79^\circ}{\text{cosec } 79^\circ} \\ &= 1 \end{align*} $$আমরা জানি, $\cot \theta = \tan(90^\circ - \theta)$
$$ \begin{align*} \frac{\tan 27^\circ}{\cot 63^\circ} &= \frac{\tan 27^\circ}{\tan(90^\circ - 63^\circ)} \\ &= \frac{\tan 27^\circ}{\tan 27^\circ} \\ &= 1 \end{align*} $$2. দেখাই যে,
(i) $\sin 66^\circ - \cos 24^\circ = 0$বামপক্ষ (L.H.S): $\sin 66^\circ - \cos 24^\circ$
$$ \begin{align*} &= \sin 66^\circ - \sin(90^\circ - 24^\circ) \\ &= \sin 66^\circ - \sin 66^\circ \\ &= 0 \end{align*} $$বামপক্ষ (L.H.S): $\cos^2 57^\circ + \cos^2 33^\circ$
$$ \begin{align*} &= \cos^2 57^\circ + [\sin(90^\circ - 33^\circ)]^2 \\ &= \cos^2 57^\circ + \sin^2 57^\circ \end{align*} $$আমরা জানি, $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$
$$ \begin{align*} &= 1 \end{align*} $$বামপক্ষ (L.H.S): $\cos^2 75^\circ - \sin^2 15^\circ$
$$ \begin{align*} &= [\sin(90^\circ - 75^\circ)]^2 - \sin^2 15^\circ \\ &= \sin^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ \\ &= 0 \end{align*} $$বামপক্ষ (L.H.S): $\text{cosec}^2 48^\circ - \tan^2 42^\circ$
$$ \begin{align*} &= \text{cosec}^2 48^\circ - [\cot(90^\circ - 42^\circ)]^2 \\ &= \text{cosec}^2 48^\circ - \cot^2 48^\circ \end{align*} $$আমরা জানি, $\text{cosec}^2 \theta - \cot^2 \theta = 1$
$$ \begin{align*} &= 1 \end{align*} $$বামপক্ষ (L.H.S): $\sec 70^\circ \sin 20^\circ + \cos 20^\circ \text{cosec } 70^\circ$
$$ \begin{align*} &= \text{cosec}(90^\circ - 70^\circ) \sin 20^\circ + \cos 20^\circ \sec(90^\circ - 70^\circ) \\ &= \text{cosec } 20^\circ \sin 20^\circ + \cos 20^\circ \sec 20^\circ \end{align*} $$আমরা জানি, $\text{cosec } \theta \times \sin \theta = 1$ এবং $\cos \theta \times \sec \theta = 1$
$$ \begin{align*} &= 1 + 1 \\ &= 2 \end{align*} $$3. যদি $\alpha$ ও $\beta$ কোণ দুটি পরস্পর পূরক কোণ হয়, তাহলে দেখাই যে,
প্রস্তুতি: যেহেতু $\alpha$ ও $\beta$ পরস্পর পূরক কোণ, তাই $\alpha + \beta = 90^\circ \implies \alpha = 90^\circ - \beta$ অথবা $\beta = 90^\circ - \alpha$।
(i) $\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta = 1$বামপক্ষ (L.H.S): $\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta$
$\beta$-এর মান বসিয়ে পাই:
$$ \begin{align*} &= \sin^2 \alpha + \sin^2(90^\circ - \alpha) \\ &= \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha \end{align*} $$আমরা জানি, $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$
$$ \begin{align*} &= 1 \end{align*} $$ডানপক্ষ (R.H.S) থেকে শুরু করি:
$$ \begin{align*} \frac{\cos \beta}{\cos \alpha} (1 + \sin \beta) &= \frac{\cos \beta}{\cos(90^\circ - \beta)} (1 + \sin \beta) \\ &= \frac{\cos \beta}{\sin \beta} (1 + \sin \beta) \\ &= \cot \beta (1 + \sin \beta) \\ &= \cot \beta + \cot \beta \times \sin \beta \\ &= \cot \beta + \frac{\cos \beta}{\sin \beta} \times \sin \beta \\ &= \cot \beta + \cos \beta \end{align*} $$যা বামপক্ষের সমান।
বামপক্ষ (L.H.S):
$$ \begin{align*} \frac{\sec \alpha}{\cos \alpha} - \cot^2 \beta &= \sec \alpha \times \frac{1}{\cos \alpha} - \cot^2(90^\circ - \alpha) \\ &= \sec \alpha \times \sec \alpha - \tan^2 \alpha \\ &= \sec^2 \alpha - \tan^2 \alpha \end{align*} $$আমরা জানি, $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$
$$ \begin{align*} &= 1 \end{align*} $$4. যদি $\sin 17^\circ = \displaystyle\frac{x}{y}$ হয়, তাহলে দেখাই যে, $\sec 17^\circ - \sin 73^\circ = \displaystyle\frac{x^2}{y\sqrt{y^2 - x^2}}$
দেওয়া আছে, $\sin 17^\circ = \displaystyle\frac{x}{y}$
আমরা জানি, $\cos 17^\circ = \sqrt{1 - \sin^2 17^\circ}$
$$ \begin{align*} \cos 17^\circ &= \sqrt{1 - \left(\frac{x}{y}\right)^2} \\ &= \sqrt{1 - \frac{x^2}{y^2}} \\ &= \sqrt{\frac{y^2 - x^2}{y^2}} = \frac{\sqrt{y^2 - x^2}}{y} \end{align*} $$বামপক্ষ (L.H.S): $\sec 17^\circ - \sin 73^\circ$
$$ \begin{align*} &= \frac{1}{\cos 17^\circ} - \sin(90^\circ - 17^\circ) \\ &= \frac{1}{\cos 17^\circ} - \cos 17^\circ \\ &= \frac{1 - \cos^2 17^\circ}{\cos 17^\circ} \\ &= \frac{\sin^2 17^\circ}{\cos 17^\circ} \end{align*} $$এবার প্রাপ্ত মানগুলি বসিয়ে পাই:
$$ \begin{align*} &= \frac{\left(\frac{x}{y}\right)^2}{\frac{\sqrt{y^2 - x^2}}{y}} \\ &= \frac{\frac{x^2}{y^2}}{\frac{\sqrt{y^2 - x^2}}{y}} \\ &= \frac{x^2}{y^2} \times \frac{y}{\sqrt{y^2 - x^2}} \\ &= \frac{x^2}{y\sqrt{y^2 - x^2}} \end{align*} $$5. দেখাই যে, $\sec^2 12^\circ - \displaystyle\frac{1}{\tan^2 78^\circ} = 1$
বামপক্ষ (L.H.S):
$$ \begin{align*} \sec^2 12^\circ - \frac{1}{\tan^2 78^\circ} &= \sec^2 12^\circ - \cot^2 78^\circ \\ &= \sec^2 12^\circ - [\tan(90^\circ - 78^\circ)]^2 \\ &= \sec^2 12^\circ - \tan^2 12^\circ \end{align*} $$আমরা জানি, $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$
$$ \begin{align*} &= 1 \end{align*} $$6. $\angle A + \angle B = 90^\circ$ হলে, দেখাই যে, $1 + \displaystyle\frac{\tan A}{\tan B} = \sec^2 A$
দেওয়া আছে, $\angle A + \angle B = 90^\circ \implies B = 90^\circ - A$
বামপক্ষ (L.H.S): $1 + \displaystyle\frac{\tan A}{\tan B}$
$$ \begin{align*} &= 1 + \frac{\tan A}{\tan(90^\circ - A)} \\ &= 1 + \frac{\tan A}{\cot A} \\ &= 1 + \tan A \times \tan A \quad \left[ \because \frac{1}{\cot A} = \tan A \right] \\ &= 1 + \tan^2 A \end{align*} $$আমরা জানি, $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$
$$ \begin{align*} &= \sec^2 A \end{align*} $$7. দেখাই যে, $\text{cosec}^2 22^\circ \cot^2 68^\circ = \sin^2 22^\circ + \sin^2 68^\circ + \cot^2 68^\circ$
ডানপক্ষ (R.H.S) থেকে শুরু করি:
$$ \begin{align*} &= \sin^2 22^\circ + \sin^2 68^\circ + \cot^2 68^\circ \\ &= \sin^2 22^\circ + [\cos(90^\circ - 68^\circ)]^2 + \cot^2 68^\circ \\ &= \sin^2 22^\circ + \cos^2 22^\circ + \cot^2 68^\circ \end{align*} $$আমরা জানি, $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$
$$ \begin{align*} &= 1 + \cot^2 68^\circ \end{align*} $$আবার আমরা জানি, $1 + \cot^2 \theta = \text{cosec}^2 \theta$
$$ \begin{align*} &= \text{cosec}^2 68^\circ \\ &= [\sec(90^\circ - 68^\circ)]^2 \\ &= \sec^2 22^\circ \end{align*} $$বামপক্ষ (L.H.S): $\text{cosec}^2 22^\circ \cot^2 68^\circ$
$$ \begin{align*} &= \text{cosec}^2 22^\circ \times [\tan(90^\circ - 68^\circ)]^2 \\ &= \text{cosec}^2 22^\circ \times \tan^2 22^\circ \\ &= \frac{1}{\sin^2 22^\circ} \times \frac{\sin^2 22^\circ}{\cos^2 22^\circ} \\ &= \frac{1}{\cos^2 22^\circ} \\ &= \sec^2 22^\circ \end{align*} $$যেহেতু বামপক্ষ এবং ডানপক্ষ উভয়েরই সরলতম মান $\sec^2 22^\circ$, তাই প্রমাণটি সম্পন্ন হলো।
8. যদি $\angle P + \angle Q = 90^\circ$ হয়, তবে দেখাই যে, $\displaystyle\sqrt{\frac{\sin P}{\cos Q} - \sin P \cos Q} = \cos P$
দেওয়া আছে, $\angle P + \angle Q = 90^\circ \implies Q = 90^\circ - P$
বামপক্ষ (L.H.S):
$$ \begin{align*} &= \sqrt{\frac{\sin P}{\cos(90^\circ - P)} - \sin P \cos(90^\circ - P)} \\ &= \sqrt{\frac{\sin P}{\sin P} - \sin P \times \sin P} \\ &= \sqrt{1 - \sin^2 P} \end{align*} $$আমরা জানি, $1 - \sin^2 \theta = \cos^2 \theta$
$$ \begin{align*} &= \sqrt{\cos^2 P} \\ &= \cos P \end{align*} $$9. প্রমাণ করি যে, $\cot 12^\circ \cot 38^\circ \cot 52^\circ \cot 78^\circ \cot 60^\circ = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}$
এখানে লক্ষ্য করি: $12^\circ + 78^\circ = 90^\circ$ এবং $38^\circ + 52^\circ = 90^\circ$
বামপক্ষ (L.H.S):
$$ \begin{align*} &= \cot 12^\circ \times \cot 38^\circ \times \cot(90^\circ - 38^\circ) \times \cot(90^\circ - 12^\circ) \times \cot 60^\circ \\ &= \cot 12^\circ \times \cot 38^\circ \times \tan 38^\circ \times \tan 12^\circ \times \cot 60^\circ \\ &= (\cot 12^\circ \times \tan 12^\circ) \times (\cot 38^\circ \times \tan 38^\circ) \times \cot 60^\circ \end{align*} $$আমরা জানি, $\cot \theta \times \tan \theta = 1$ এবং $\cot 60^\circ = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}$
$$ \begin{align*} &= 1 \times 1 \times \frac{1}{\sqrt{3}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{3}} \end{align*} $$10. O কেন্দ্রীয় যে-কোনো একটি বৃত্তের AOB একটি ব্যাস এবং বৃত্তের উপর C যে-কোনো একটি বিন্দু। এবার A, C; B, C এবং O, C যুক্ত করে দেখাই যে,
জ্যামিতিক প্রস্তুতি: AOB বৃত্তের ব্যাস হওয়ায় $\angle ACB$ একটি অর্ধবৃত্তস্থ কোণ। $\therefore \angle ACB = 90^\circ$।
$\triangle ABC$-তে, $\angle CAB + \angle ABC = 90^\circ$ (কারণ অপর কোণটি $90^\circ$) $\dots$ (1)
$\triangle AOC$-তে $OA = OC$ (ব্যাসার্ধ) $\implies \angle OAC = \angle OCA$। অর্থাৎ $\angle CAB = \angle ACO$ $\dots$ (2)
$\triangle OBC$-তে $OB = OC$ (ব্যাসার্ধ) $\implies \angle OBC = \angle OCB$। অর্থাৎ $\angle ABC = \angle BCO$ $\dots$ (3)
উপরের (1) ও (2) নং সম্পর্ক থেকে পাই:
$$ \begin{align*} \angle ABC + \angle OAC &= 90^\circ \\ \angle ABC + \angle ACO &= 90^\circ \quad [\text{যেহেতু } \angle OAC = \angle ACO] \\ \angle ABC &= 90^\circ - \angle ACO \end{align*} $$বামপক্ষ (L.H.S):
$$ \begin{align*} \tan \angle ABC &= \tan(90^\circ - \angle ACO) \\ &= \cot \angle ACO \end{align*} $$আমরা জানি, সম্পূর্ণ কোণ $\angle ACB = 90^\circ$
চিত্রানুসারে, $\angle ACB = \angle ACO + \angle BCO$
$$ \begin{align*} \angle ACO + \angle BCO &= 90^\circ \\ \angle ACO &= 90^\circ - \angle BCO \end{align*} $$বামপক্ষ (L.H.S):
$$ \begin{align*} \sin^2 \angle BCO + \sin^2 \angle ACO &= \sin^2 \angle BCO + \sin^2(90^\circ - \angle BCO) \\ &= \sin^2 \angle BCO + \cos^2 \angle BCO \\ &= 1 \end{align*} $$আমরা জানি, $\triangle ABC$-তে $\angle CAB + \angle ABC = 90^\circ \implies \angle CAB = 90^\circ - \angle ABC$
বামপক্ষ (L.H.S): $\text{cosec}^2 \angle CAB - 1$
$$ \begin{align*} &= \text{cosec}^2(90^\circ - \angle ABC) - 1 \\ &= \sec^2 \angle ABC - 1 \end{align*} $$আমরা জানি, $\sec^2 \theta - 1 = \tan^2 \theta$
$$ \begin{align*} &= \tan^2 \angle ABC \end{align*} $$11. ABCD একটি আয়তাকার চিত্র। A, C যুক্ত করে প্রমাণ করি যে,
জ্যামিতিক প্রস্তুতি: আয়তক্ষেত্র ABCD-এর প্রতিটি কোণ $90^\circ$। AC কর্ণ অঙ্কন করায় দুটি সমকোণী ত্রিভুজ উৎপন্ন হয়েছে, $\triangle ADC$ এবং $\triangle ABC$।
এখানে $\angle D = 90^\circ$ এবং $\angle B = 90^\circ$।
সমান্তরাল সরলরেখা $AD \parallel BC$ এবং AC ভেদক। তাই একান্তর কোণ $\angle DAC = \angle ACB$ এবং $\angle DCA = \angle CAB$।
$\triangle ADC$-তে, $\angle DAC + \angle ACD = 90^\circ$।
আমরা জানি, $\angle DAC + \angle ACD = 90^\circ \implies \angle ACD = 90^\circ - \angle DAC$
বামপক্ষ (L.H.S): $\tan \angle ACD$
$$ \begin{align*} &= \tan(90^\circ - \angle DAC) \\ &= \cot \angle DAC \end{align*} $$যেহেতু একান্তর কোণ $\angle DAC = \angle ACB$, তাই মান বসিয়ে পাই:
$$ \begin{align*} &= \cot \angle ACB \end{align*} $$আমরা জানি, সম্পূর্ণ $\angle DAB = 90^\circ$
চিত্রানুসারে, $\angle DAB = \angle CAD + \angle BAC$
$$ \begin{align*} \angle CAD + \angle BAC &= 90^\circ \\ \angle CAD &= 90^\circ - \angle BAC \end{align*} $$বামপক্ষ (L.H.S): $\tan^2 \angle CAD + 1$
আমরা জানি, $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$
$$ \begin{align*} &= \sec^2 \angle CAD \\ &= \sec^2(90^\circ - \angle BAC) \\ &= \text{cosec}^2 \angle BAC \end{align*} $$আমরা জানি, $\text{cosec} \theta = \displaystyle\frac{1}{\sin \theta}$
$$ \begin{align*} &= \frac{1}{\sin^2 \angle BAC} \end{align*} $$12. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.)
(i) $(\sin 43^\circ \cos 47^\circ + \cos 43^\circ \sin 47^\circ)$ -এর মান$= \sin 43^\circ \cos(90^\circ - 43^\circ) + \cos 43^\circ \sin(90^\circ - 43^\circ)$
$= \sin 43^\circ \sin 43^\circ + \cos 43^\circ \cos 43^\circ$
$= \sin^2 43^\circ + \cos^2 43^\circ = 1$
$= \displaystyle\frac{\tan 35^\circ}{\tan(90^\circ - 55^\circ)} + \frac{\cot 78^\circ}{\cot(90^\circ - 12^\circ)}$
$= \displaystyle\frac{\tan 35^\circ}{\tan 35^\circ} + \frac{\cot 78^\circ}{\cot 78^\circ} = 1 + 1 = 2$
লক্ষ্য করি, $(40^\circ+\theta) + (50^\circ-\theta) = 90^\circ$। তাই এরা পূরক কোণ।
$= \cos(40^\circ+\theta) - \cos(90^\circ - (50^\circ-\theta))$
$= \cos(40^\circ+\theta) - \cos(40^\circ+\theta) = 0$
ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, $A+B+C = 180^\circ \implies B+C = 180^\circ - A$
$\displaystyle\frac{B+C}{2} = 90^\circ - \frac{A}{2}$
$\therefore \sin\left(\displaystyle\frac{B+C}{2}\right) = \sin\left(90^\circ - \frac{A}{2}\right) = \cos\frac{A}{2}$
$B = 90^\circ - A$
$\cot B = \cot(90^\circ - A) = \tan A$
দেওয়া আছে $\tan A = \displaystyle\frac{3}{4}$। $\therefore \cot B = \displaystyle\frac{3}{4}$
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি:
(i) $\cos 54^\circ$ এবং $\sin 36^\circ$ -এর মান সমান।যুক্তি: $\cos 54^\circ = \cos(90^\circ - 36^\circ) = \sin 36^\circ$।
যুক্তি: $\sin 12^\circ - \cos 78^\circ = \sin 12^\circ - \sin(90^\circ - 78^\circ) = \sin 12^\circ - \sin 12^\circ = 0$। মান 0 হবে, 1 নয়।
(C) শূন্যস্থান পূরণ করি:
(i) $(\tan 15^\circ \times \tan 45^\circ \times \tan 60^\circ \times \tan 75^\circ)$ -এর মান _________$= \tan 15^\circ \times 1 \times \sqrt{3} \times \tan(90^\circ - 15^\circ)$
$= \tan 15^\circ \times \sqrt{3} \times \cot 15^\circ$
যেহেতু $\tan \theta \times \cot \theta = 1$, তাই $= 1 \times \sqrt{3} = \sqrt{3}$
উত্তর: $\sqrt{3}$
$= \sin 12^\circ \times \cos 18^\circ \times \text{cosec}(90^\circ - 78^\circ) \times \sec(90^\circ - 72^\circ)$
$= \sin 12^\circ \times \cos 18^\circ \times \text{cosec} 12^\circ \times \sec 18^\circ$
সাজিয়ে লিখলে: $(\sin 12^\circ \times \text{cosec} 12^\circ) \times (\cos 18^\circ \times \sec 18^\circ)$
$= 1 \times 1 = 1$
উত্তর: 1
পূরক কোণ হওয়ায় $A + B = 90^\circ \implies A = 90^\circ - B$।
$\therefore \sin A = \sin(90^\circ - B) = \cos B$
উত্তর: $\cos B$
13. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) $\sin 10\theta = \cos 8\theta$ এবং $10\theta$ ধনাত্মক সূক্ষ্মকোণ হলে, $\tan 9\theta$ -এর মান নির্ণয় করি।দেওয়া আছে, $\sin 10\theta = \cos 8\theta$
$$ \begin{align*} \sin 10\theta &= \sin(90^\circ - 8\theta) \\ 10\theta &= 90^\circ - 8\theta \\ 10\theta + 8\theta &= 90^\circ \\ 18\theta &= 90^\circ \\ \theta &= \frac{90^\circ}{18} = 5^\circ \end{align*} $$এখন, $\tan 9\theta$ এর মান নির্ণয় করতে হবে:
$$ \begin{align*} \tan 9\theta &= \tan(9 \times 5^\circ) \\ &= \tan 45^\circ \\ &= 1 \end{align*} $$লবকে সাজিয়ে লিখি:
$$ \begin{align*} &= 2\sin^2 63^\circ + 2\sin^2 27^\circ + 1 \\ &= 2\sin^2 63^\circ + 2[\cos(90^\circ - 27^\circ)]^2 + 1 \\ &= 2\sin^2 63^\circ + 2\cos^2 63^\circ + 1 \\ &= 2(\sin^2 63^\circ + \cos^2 63^\circ) + 1 \\ &= 2(1) + 1 = 3 \end{align*} $$হরকে সাজিয়ে লিখি:
$$ \begin{align*} &= 3\cos^2 17^\circ + 3\cos^2 73^\circ - 2 \\ &= 3\cos^2 17^\circ + 3[\sin(90^\circ - 73^\circ)]^2 - 2 \\ &= 3\cos^2 17^\circ + 3\sin^2 17^\circ - 2 \\ &= 3(\cos^2 17^\circ + \sin^2 17^\circ) - 2 \\ &= 3(1) - 2 = 1 \end{align*} $$পুরো রাশির মান = $\displaystyle\frac{\text{লব}}{\text{হর}} = \frac{3}{1} = 3$
এখানে 1° থেকে 89° পর্যন্ত মোট 89টি পদ আছে। এদেরকে জোড়ায় জোড়ায় সাজানো যায় যেগুলি পরস্পর পূরক।
$$ \begin{align*} &= (\tan 1^\circ \times \tan 89^\circ) \times (\tan 2^\circ \times \tan 88^\circ) \times \dots \times \tan 45^\circ \\ &= (\tan 1^\circ \times \cot 1^\circ) \times (\tan 2^\circ \times \cot 2^\circ) \times \dots \times \tan 45^\circ \\ &= 1 \times 1 \times \dots \times 1 \quad [\because \tan 45^\circ = 1] \\ &= 1 \end{align*} $$দেওয়া আছে, $\sec 5A = \text{cosec}(A+36^\circ)$
$$ \begin{align*} \text{cosec}(90^\circ - 5A) &= \text{cosec}(A+36^\circ) \\ 90^\circ - 5A &= A + 36^\circ \\ -5A - A &= 36^\circ - 90^\circ \\ -6A &= -54^\circ \\ A &= \frac{54^\circ}{6} = 9^\circ \end{align*} $$