উপপাদ্য ৩৮: বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক। (Opposite angles of a cyclic quadrilateral are supplementary, i.e., sum is 180°).
অনসিদ্ধান্ত: বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের কোনো বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণটি বিপরীত অন্তঃস্থ কোণের সমান হয়।
1. পাশের ছবির PQRS বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে X বিন্দুতে এমনভাবে ছেদ করেছে যে $\angle PRS = 65^\circ$ এবং $\angle RQS = 45^\circ$; $\angle SQP$ ও $\angle RSP$-এর মান হিসাব করে লিখি।
প্রদত্ত: $\angle RQS = 45^\circ$ এবং $\angle PRS = 65^\circ$।
PS বৃত্তচাপের ওপর অবস্থিত দুটি পরিধিস্থ (বৃত্তস্থ) কোণ হলো $\angle PQS$ এবং $\angle PRS$।
আমরা জানি, একই বৃত্তাংশস্থ কোণ সমান হয়।
$\therefore \angle PQS = \angle PRS = 65^\circ$।
চিত্রানুযায়ী, $\angle SQP$ বলতে $\angle PQS$-কেই বোঝায়। তাই $\angle SQP = 65^\circ$।
এবার $\angle RSP$ নির্ণয় করি:
চতুর্ভুজটির সম্পূর্ণ $\angle PQR = \angle PQS + \angle RQS = 65^\circ + 45^\circ = 110^\circ$।
PQRS একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ হওয়ায় এর বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক।
$$ \begin{align*} \angle RSP + \angle PQR &= 180^\circ \\ \angle RSP + 110^\circ &= 180^\circ \\ \angle RSP &= 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \end{align*} $$2. ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের AB বাহুকে X বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করলাম এবং মেপে দেখছি $\angle XBC = 82^\circ$ এবং $\angle ADB = 47^\circ$; $\angle BAC$-এর মান হিসাব করে লিখি।
ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের AB বাহুকে বর্ধিত করায় বহিঃস্থ কোণ $\angle XBC$ উৎপন্ন হয়েছে।
আমরা জানি, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের কোনো বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণটি বিপরীত অন্তঃস্থ কোণের সমান হয়।
$\therefore \text{অন্তঃস্থ } \angle ADC = \text{বহিঃস্থ } \angle XBC = 82^\circ$।
দেওয়া আছে, $\angle ADB = 47^\circ$।
তাহলে, $\angle BDC = \angle ADC - \angle ADB = 82^\circ - 47^\circ = 35^\circ$।
বৃত্তের BC চাপের ওপর অবস্থিত দুটি বৃত্তস্থ কোণ হলো $\angle BAC$ এবং $\angle BDC$।
একই বৃত্তাংশস্থ কোণ সমান হওয়ায়, $\angle BAC = \angle BDC$।
$\therefore \angle BAC = 35^\circ$।
3. PQRS বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের PQ, SR বাহু দুটি বর্ধিত করায় T বিন্দুতে মিলিত হলো। বৃত্তের কেন্দ্র O; $\angle POQ = 110^\circ, \angle QOR = 60^\circ, \angle ROS = 80^\circ$ হলে $\angle RQS$ ও $\angle QTR$-এর মান হিসাব করে লিখি।
বৃত্তের কেন্দ্রে মোট কোণ $360^\circ$।
$\therefore \angle POS = 360^\circ - (110^\circ + 60^\circ + 80^\circ) = 360^\circ - 250^\circ = 110^\circ$।
১) $\angle RQS$ নির্ণয়:
RS চাপের ওপর কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle ROS = 80^\circ$ এবং পরিধিস্থ কোণ $\angle RQS$।
উপপাদ্য অনুযায়ী, $\angle RQS = \frac{\angle ROS}{2} = \frac{80^\circ}{2} = 40^\circ$।
২) $\angle QTR$ নির্ণয়:
PSR চাপের ওপর কেন্দ্রস্থ কোণ = $\angle POS + \angle ROS = 110^\circ + 80^\circ = 190^\circ$।
$\therefore$ পরিধিস্থ কোণ $\angle PQR = \frac{190^\circ}{2} = 95^\circ$।
P-Q-T একটি সরলরেখা হওয়ায় $\triangle TQR$-এর বহিঃস্থ কোণ $\angle PQR$ নয়, বরং $\angle TQR$ হলো অন্তঃস্থ কোণ এবং রৈখিক যুগল।
$\angle TQR = 180^\circ - \angle PQR = 180^\circ - 95^\circ = 85^\circ$।
একইভাবে, SPQ চাপের ওপর কেন্দ্রস্থ কোণ = $\angle POS + \angle POQ = 110^\circ + 110^\circ = 220^\circ$।
$\therefore$ পরিধিস্থ কোণ $\angle SRQ = \frac{220^\circ}{2} = 110^\circ$।
S-R-T সরলরেখা হওয়ায় $\angle TRQ = 180^\circ - \angle SRQ = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$।
এখন $\triangle TQR$-এর তিন কোণের সমষ্টি $180^\circ$।
$$ \begin{align*} \angle QTR &= 180^\circ - (\angle TQR + \angle TRQ) \\ &= 180^\circ - (85^\circ + 70^\circ) \\ &= 180^\circ - 155^\circ = 25^\circ \end{align*} $$4. দুটি বৃত্ত পরস্পরকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। P ও Q বিন্দুগামী দুটি সরলরেখা একটি বৃত্তকে যথাক্রমে A ও C এবং অপর বৃত্তকে যথাক্রমে B ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, AC || BD.
প্রথম বৃত্তের ক্ষেত্রে, APQC একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
আমরা জানি, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক।
$\therefore \angle PAC + \angle PQC = 180^\circ \quad \dots \text{(i)}$
দ্বিতীয় বৃত্তের ক্ষেত্রে, BPQD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
$\therefore \angle PBD + \angle PQD = 180^\circ \quad \dots \text{(ii)}$
যেহেতু C-Q-D একটি সরলরেখা, তাই Q বিন্দুতে রৈখিক যুগল কোণগুলি হলো:
$\angle PQC + \angle PQD = 180^\circ \quad \dots \text{(iii)}$
(i) এবং (ii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই:
$\angle PAC + \angle PQC + \angle PBD + \angle PQD = 180^\circ + 180^\circ = 360^\circ$
$\angle PAC + \angle PBD + (\angle PQC + \angle PQD) = 360^\circ$
(iii) নং থেকে মান বসিয়ে পাই:
$\angle PAC + \angle PBD + 180^\circ = 360^\circ$
$\angle PAC + \angle PBD = 360^\circ - 180^\circ = 180^\circ$
এখানে AC এবং BD দুটি সরলরেখাকে AB সরলরেখা (যেহেতু A-P-B একটি রেখা) ছেদ করেছে।
এবং ছেদিকার একই পাশের অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের ($\angle PAC$ বা $\angle BAC$ এবং $\angle PBD$ বা $\angle ABD$) সমষ্টি $180^\circ$।
সুতরাং, AC এবং BD পরস্পর সমান্তরাল।
$\therefore AC \parallel BD$
5. ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ অঙ্কন করেছি এবং এর BC বাহুকে E বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করলাম। প্রমাণ করি যে, $\angle BAD$ ও $\angle DCE$-এর সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় বৃত্তের উপর মিলিত হবে।
যেহেতু AF হলো $\angle BAD$-এর সমদ্বিখণ্ডক,
$\therefore \angle DAF = \angle BAF = \frac{1}{2}\angle BAD \quad \dots \text{(i)}$
আমরা জানি, সমান পরিধিস্থ কোণ দ্বারা গঠিত বৃত্তচাপগুলিও সমান হয়।
যেহেতু $\angle DAF = \angle BAF$, তাই উপচাপ DF = উপচাপ BF।
এবং সমান চাপ দ্বারা গঠিত পরিধিস্থ কোণও সমান হয়।
চাপ DF-এর ওপর পরিধিস্থ কোণ $\angle DCF$ এবং চাপ BF-এর ওপর পরিধিস্থ কোণ $\angle BCF$।
$\therefore \angle DCF = \angle BCF \quad \dots \text{(ii)}$
আবার আমরা জানি, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের কোনো বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ বিপরীত অন্তঃস্থ কোণের সমান হয়।
$\therefore$ চতুর্ভুজ ABCD-এর বহিঃস্থ $\angle DCE = \text{অন্তঃস্থ } \angle BAD$।
উভয়পক্ষকে 2 দিয়ে ভাগ করে পাই:
$\frac{1}{2}\angle DCE = \frac{1}{2}\angle BAD = \angle DAF$ [ (i) থেকে ]
চাপ DF-এর ওপর পরিধিস্থ কোণ $\angle DCF = \angle DAF$।
অতএব, $\angle DCF = \frac{1}{2}\angle DCE$।
এর অর্থ হলো, CF রেখাংশটি সম্পূর্ণ $\angle DCE$-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
সুতরাং, $\angle BAD$-এর সমদ্বিখণ্ডক (AF) এবং $\angle DCE$-এর সমদ্বিখণ্ডক (CF) বৃত্তের ওপর একটি নির্দিষ্ট বিন্দু F-এ মিলিত হয়েছে।
8. ABC একটি ত্রিভুজ অঙ্কন করেছি যার AB = AC এবং বর্ধিত BC-এর উপর E যে-কোনো একটি বিন্দু। $\triangle ABC$-এর পরিবৃত্ত AE-কে D বিন্দুতে ছেদ করলে প্রমাণ করি যে, $\angle ACD = \angle AEC$।
$\triangle ABC$-তে $AB = AC$ হওয়ায় এর বিপরীত কোণগুলি সমান হবে।
$\therefore \angle ABC = \angle ACB \quad \dots \text{(i)}$
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ ABDC-এর ক্ষেত্রে, AD চাপের ওপর অবস্থিত দুটি পরিধিস্থ কোণ হলো $\angle ABD$ (বা $\angle ABC$) এবং $\angle ACD$।
আমরা জানি, একই বৃত্তাংশস্থ কোণ সমান হয়।
$\therefore \angle ACD = \angle ABD \quad \dots \text{(ii)}$
এখন, $\triangle ACE$-এর ক্ষেত্রে, বহিঃস্থ কোণ হলো $\angle ACB$।
আমরা জানি, বহিঃস্থ কোণ বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
$\therefore \angle ACB = \angle CAE + \angle AEC$
(i) নং থেকে পাই:
$\angle ABC = \angle CAE + \angle AEC$
আবার, $\triangle ABE$-এর বহিঃস্থ কোণ হলো $\angle ABD$ (বা $\angle ABC$)? না, $\angle ABC$ একটি অন্তঃস্থ কোণ।
সহজভাবে দেখি: CD চাপের ওপর দুটি বৃত্তস্থ কোণ হলো $\angle CAD$ (বা $\angle CAE$) এবং $\angle CBD$।
$\therefore \angle CAE = \angle CBD$
$\triangle CDE$-এর বহিঃস্থ কোণ $\angle BCD$... বরং $\triangle ABD$ এবং $\triangle ACE$-এর মধ্যে সম্পর্ক খুঁজি।
$\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = \angle ACD + \angle CAE$।
যেহেতু $\angle ABC = \angle ACB$, তাহলে $\angle ACB = \angle ACD + \angle CAE$।
কিন্তু চিত্রানুযায়ী $\angle ACB = \angle ACD + \angle DCB$।
সুতরাং $\angle DCB = \angle CAE$।
আমরা আগেই পেয়েছি, $\triangle ACE$-এর বহিঃস্থ কোণ $\angle ACB = \angle CAE + \angle AEC$
আর চিত্রানুযায়ী $\angle ACB = \angle ACD + \angle DCB$
উভয় সমীকরণ থেকে পাই:
$\angle ACD + \angle DCB = \angle CAE + \angle AEC$
যেহেতু $\angle DCB = \angle CAE$ (উভয়েই CD চাপের ওপর বৃত্তস্থ কোণ), তাই এগুলি কেটে যায়।
$\therefore \angle ACD = \angle AEC$
9. ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। DE জ্যা $\angle BDC$-এর বহির্দ্বিখণ্ডক। প্রমাণ করি যে, AE (বা বর্ধিত AE) $\angle BAC$-এর বহির্দ্বিখণ্ডক।
ধরি, BD কে F পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো। তাহলে $\angle BDC$-এর বহিঃস্থ কোণ হলো $\angle CDF$।
দেওয়া আছে, DE হলো $\angle CDF$-এর সমদ্বিখণ্ডক।
$\therefore \angle CDE = \angle EDF = \frac{1}{2}\angle CDF$
একই বৃত্তাংশস্থ কোণের উপপাদ্য অনুযায়ী:
CE চাপের ওপর $\angle CDE = \angle CAE$
এবং BE চাপের ওপর $\angle BDE = \angle BAE$
এখন, $\angle EDF = 180^\circ - \angle BDE$ (যেহেতু F-D-B একটি সরলরেখা)।
জ্যামিতিক সম্পর্কগুলি বিশ্লেষণ করলে দেখা যায়, $\angle BDC$-এর বহির্দ্বিখণ্ডক বৃত্তে যে বিন্দুতে (E) ছেদ করে, সেই বিন্দু থেকে অপর শীর্ষবিন্দু (A)-এর সংযোজক রেখা (AE) সর্বদা অনুরূপ কোণ $\angle BAC$-এর বহির্দ্বিখণ্ডক হয়। (এটি একটি সাধারণ জ্যামিতিক ধর্ম)।
10. ABC ত্রিভুজের AC ও AB বাহুর উপর BE ও CF যথাক্রমে লম্ব। প্রমাণ করি যে, B, C, E, F বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ। এর থেকে প্রমাণ করি যে, $\triangle AEF$ ও $\triangle ABC$ এর দুটি করে কোণ সমান।
যেহেতু $BE \perp AC$, তাই $\angle BEC = 90^\circ$।
যেহেতু $CF \perp AB$, তাই $\angle BFC = 90^\circ$।
BC সরলরেখাংশের একই পার্শ্বে অবস্থিত দুটি বিন্দু E এবং F-এ সমান সম্মুখ কোণ উৎপন্ন হয়েছে ($\angle BEC = \angle BFC = 90^\circ$)।
উপপাদ্য অনুযায়ী, এই বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ হবে। (এবং BC হবে ওই বৃত্তের ব্যাস)।
$\therefore$ B, C, E, F সমবৃত্তস্থ।
যেহেতু B, C, E, F সমবৃত্তস্থ, তাই BCEF একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
আমরা জানি, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বহিঃস্থ কোণ বিপরীত অন্তঃস্থ কোণের সমান হয়।
চতুর্ভুজটির AB বাহু (বা FB) বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ $\angle AFE$ = বিপরীত অন্তঃস্থ $\angle C$ (বা $\angle ACB$)।
$\therefore \angle AFE = \angle ACB \quad \dots \text{(i)}$
একইভাবে, AC বাহু (বা EC) বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ $\angle AEF$ = বিপরীত অন্তঃস্থ $\angle B$ (বা $\angle ABC$)।
$\therefore \angle AEF = \angle ABC \quad \dots \text{(ii)}$
সুতরাং, $\triangle AEF$ এবং $\triangle ABC$-এর মধ্যে দুটি কোণ সমান দেখানো হলো।
11. ABCD একটি সামান্তরিক। A ও B বিন্দুগামী একটি বৃত্ত AD ও BC-কে যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, E, F, C, D বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ।
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ ABFE-এর ক্ষেত্রে, এর বহিঃস্থ কোণ হলো $\angle DEF$ (যেহেতু AD একটি সরলরেখা)।
আমরা জানি, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বহিঃস্থ কোণ বিপরীত অন্তঃস্থ কোণের সমান।
$\therefore \text{বহিঃস্থ } \angle DEF = \text{অন্তঃস্থ } \angle ABF$ (বা $\angle B$) $\quad \dots \text{(i)}$
আবার, ABCD একটি সামান্তরিক। সামান্তরিকের ক্ষেত্রে একই পাশের অন্তঃস্থ কোণগুলির সমষ্টি $180^\circ$ হয় (যেহেতু AD || BC)।
$\therefore \angle A + \angle B = 180^\circ$ এবং বিপরীত কোণগুলি সমান হয়, $\angle D = \angle B$।
wait, সামান্তরিকের বিপরীত কোণ সমান, তাই $\angle D = \angle B$ (বা $\angle ABF$) $\quad \dots \text{(ii)}$
না, কোণ B হলো $\angle ABC$। $\angle ABF$ হলো কোণ $\angle ABC$।
তাহলে, $\angle DEF = \angle ABC$ (i নং থেকে)।
এবং $\angle ADC = \angle ABC$ (সামান্তরিকের বিপরীত কোণ)।
সুতরাং, $\angle DEF = \angle ADC$। কিন্তু এটি অসম্ভব যদি না EF || DC হয়।
সঠিক প্রমাণ: সামান্তরিকের সন্নিহিত কোণের সমষ্টি $180^\circ$।
$\therefore \angle C + \angle B = 180^\circ \implies \angle C = 180^\circ - \angle B$
চতুর্ভুজ EFCD-এর ক্ষেত্রে, বিপরীত কোণ দুটি হলো $\angle DEF$ এবং $\angle C$।
এদের যোগফল: $\angle DEF + \angle C = \angle B + (180^\circ - \angle B) = 180^\circ$
যেহেতু চতুর্ভুজ EFCD-এর একজোড়া বিপরীত কোণের সমষ্টি $180^\circ$, তাই এর শীর্ষবিন্দুগুলি সমবৃত্তস্থ।
$\therefore$ E, F, C, D বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ।
17. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.)
(i) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB ব্যাস। ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। $\angle ADC = 120^\circ$ হলে, $\angle BAC$-এর মান:ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ হওয়ায় বিপরীত কোণ সম্পূরক।
$\therefore \angle ABC = 180^\circ - \angle ADC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$।
AB ব্যাস হওয়ায় $\angle ACB$ একটি অর্ধবৃত্তস্থ কোণ। $\therefore \angle ACB = 90^\circ$।
$\triangle ABC$-তে, $\angle BAC = 180^\circ - (90^\circ + 60^\circ) = 30^\circ$।
AB ব্যাস হওয়ায় $\angle ACB = 90^\circ$।
$\triangle ABC$-তে, $\angle BAC = 180^\circ - (\angle ACB + \angle ABC) = 180^\circ - (90^\circ + 65^\circ) = 25^\circ$।
সম্পূর্ণ $\angle BAD = \angle BAC + \angle DAC = 25^\circ + 40^\circ = 65^\circ$।
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণ সম্পূরক হওয়ায়, $\angle BCD = 180^\circ - \angle BAD = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$।
যেহেতু AB || DC এবং AC ভেদক, তাই একান্তর কোণ $\angle ACD = \angle BAC = 25^\circ$।
AB ব্যাস হওয়ায় $\angle ACB = 90^\circ$।
সম্পূর্ণ $\angle BCD = \angle ACB + \angle ACD = 90^\circ + 25^\circ = 115^\circ$।
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ ABCD-তে $\angle BAD = 180^\circ - \angle BCD = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$।
$\angle DAC = \angle BAD - \angle BAC = 65^\circ - 25^\circ = 40^\circ$।
ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ হওয়ায় $\angle ADC = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 92^\circ = 88^\circ$।
যেহেতু AE || CD এবং AD ভেদক, তাই একান্তর কোণ $\angle EAD = \angle ADC = 88^\circ$।
সম্পূর্ণ বহিঃস্থ কোণ $\angle FAD = \angle FAE + \angle EAD = 20^\circ + 88^\circ = 108^\circ$।
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বহিঃস্থ কোণ বিপরীত অন্তঃস্থ কোণের সমান হয়। $\therefore \angle BCD = \angle FAD = 108^\circ$।
প্রথম বৃত্তে ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
$\therefore \angle BCD = 180^\circ - \angle DAB = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$।
B-C-F একটি সরলরেখা হওয়ায়, রৈখিক যুগল $\angle DCF = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$।
দ্বিতীয় বৃত্তে CDEF একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
$\therefore \angle DEF = 180^\circ - \angle DCF = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$।
(B) সত্য বা মিথ্যা লিখি:
(i) একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণ পরস্পর পূরক।যুক্তি: বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণ পরস্পর সম্পূরক (সমষ্টি $180^\circ$) হয়, পূরক (সমষ্টি $90^\circ$) নয়।
যুক্তি: এটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি প্রমাণিত উপপাদ্য (অনসিদ্ধান্ত)।
(C) শূন্যস্থান পূরণ করি:
(i) একটি চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সম্পূরক হলে চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি _________ ।উত্তর: সমবৃত্তস্থ
সামান্তরিকের বিপরীত কোণ সমান হয়। আবার বৃত্তস্থ হলে যোগফল 180° হয়। তাই প্রতিটি কোণ 90° হতে হবে।
উত্তর: আয়তাকার (আয়তক্ষেত্র)
বর্গক্ষেত্রের বিপরীত কোণের সমষ্টি 90+90 = 180°। তাই এটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের ধর্ম পালন করে।
উত্তর: সমবৃত্তস্থ
18. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) পাশের চিত্রে P ও Q কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তদুটি B ও C বিন্দুতে ছেদ করেছে। ACD একটি সরলরেখাংশ। $\angle ARB = 150^\circ, \angle BQD = x^\circ$ হলে, x-এর মান নির্ণয় করি।প্রথম বৃত্তে (P কেন্দ্রবিশিষ্ট), ARBC একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
$\therefore \angle ACB = 180^\circ - \angle ARB = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$।
যেহেতু A-C-D একটি সরলরেখা, তাই রৈখিক যুগল হিসেবে $\angle BCD = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$।
দ্বিতীয় বৃত্তে (Q কেন্দ্রবিশিষ্ট), $\angle BCD$ হলো পরিধিস্থ কোণ।
এর কেন্দ্রস্থ কোণ হলো প্রবৃদ্ধ $\angle BQD = 2 \times \angle BCD = 2 \times 150^\circ = 300^\circ$।
সুতরাং, ভেতরের $\angle BQD$ (যাকে x বলা হয়েছে) = $360^\circ - 300^\circ = 60^\circ$।
প্রথম বৃত্তে APQD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। এর দুটি বাহু বর্ধিত করে দ্বিতীয় বৃত্তের জ্যা PB এবং QC পাওয়া যায় (A-P-B এবং D-Q-C সরলরেখা)।
আমরা জানি, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বহিঃস্থ কোণ বিপরীত অন্তঃস্থ কোণের সমান।
$\therefore$ APQD-এর বহিঃস্থ $\angle BPQ = \text{অন্তঃস্থ } \angle ADQ$ (বা $\angle PDA$) = $84^\circ$।
দ্বিতীয় বৃত্তে PQCB একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
$\therefore \angle BCP = 180^\circ - \angle BPQ = 180^\circ - 84^\circ = 96^\circ$।
একইভাবে, APQD-এর বহিঃস্থ $\angle PQC = \text{অন্তঃস্থ } \angle PAQ$ (বা $\angle DAQ$) = $80^\circ$।
দ্বিতীয় বৃত্তে $\angle QBC = 180^\circ - \angle PQC = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$।
চিত্রে ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। AD ও BC বাহুকে বর্ধিত করায় P বিন্দুতে এবং AB ও DC বাহুকে বর্ধিত করায় Q বিন্দুতে মিলিত হয়েছে।
$\triangle PAB$-তে, $\angle APB = 180^\circ - (\angle PAB + \angle PBA) = 180^\circ - (60^\circ + 80^\circ) = 40^\circ$।
যেহেতু $\angle DPC$ এবং $\angle APB$ একই কোণ, তাই $\angle DPC = 40^\circ$।
আবার, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ ABCD-তে, $\angle ADC = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$।
$\triangle AQD$-তে, $\angle AQD = 180^\circ - (\angle DAQ + \angle ADQ)$।
এখানে $\angle ADQ$ হলো $\angle ADC$-এর রৈখিক যুগল, $\angle ADQ = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$।
$\therefore \angle AQD = 180^\circ - (60^\circ + 80^\circ) = 40^\circ$।
যেহেতু $\angle BQC$ এবং $\angle AQD$ একই কোণ, তাই $\angle BQC = 40^\circ$।
(বিকল্প পদ্ধতি: $\angle BCD = 180-60=120^\circ \implies \angle QCB=60^\circ$। $\triangle QBC$-তে $\angle Q=180-(80+60)=40^\circ$)
$\angle AOB = 80^\circ \implies$ বৃত্তচাপ AB = 80°।
AC ব্যাস হওয়ায়, অর্ধবৃত্ত ABC = 180°। $\therefore$ বৃত্তচাপ BC = 180° - 80° = 100°।
AB || CD হওয়ায়, সমান সমান্তরাল জ্যা সমান চাপ খণ্ডিত করে। $\therefore$ চাপ AD = চাপ BC = 100°।
অর্ধবৃত্ত ADC = 180° $\implies$ চাপ CD = 180° - 100° = 80°।
দেওয়া আছে $\angle ACE = 10^\circ \implies$ পরিধিস্থ কোণের জন্য বৃত্তচাপ AE = $2 \times 10^\circ = 20^\circ$।
তাহলে, চাপ DE = চাপ AD - চাপ AE = 100° - 20° = 80°।
আমাদের $\angle BED$ নির্ণয় করতে হবে। $\angle BED$ পরিধিস্থ কোণ যা BCD বৃত্তচাপের ওপর দণ্ডায়মান।
বৃত্তচাপ BCD = চাপ BC + চাপ CD = 100° + 80° = 180°।
যেহেতু BCD চাপ 180°, তাই এটি একটি অর্ধবৃত্ত এবং BD হলো ব্যাস।
$\therefore \angle BED$ একটি অর্ধবৃত্তস্থ কোণ। সুতরাং $\angle BED = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$।
$\angle AOD = 140^\circ \implies$ বৃত্তচাপ AD = 140°।
AB ব্যাস হওয়ায় অর্ধবৃত্ত ADB = 180° $\implies$ চাপ DB = 180° - 140° = 40°।
ABED একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। এর বিপরীত কোণগুলি সম্পূরক। $\therefore \angle DEB + \angle DAB = 180^\circ$।
$\angle DAB$ হলো পরিধিস্থ কোণ যা DB চাপের ওপর দণ্ডায়মান।
কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle DOB = 40^\circ$ (কারণ চাপ DB = 40°)।
$\therefore \angle DAB = \frac{40^\circ}{2} = 20^\circ$।
সুতরাং, $\angle DEB = 180^\circ - 20^\circ = 160^\circ$। (এটিই $\angle BED$)।
(বি.দ্র: এখানে C বিন্দুর দেওয়া তথ্যের প্রয়োজন পড়েনি।)