কষে দেখি 6 (Koshe Dekhi 6)

প্রদত্ত: ABCD একটি সামান্তরিক, যার কর্ণ $AC$ এবং কর্ণ $BD$ এর দৈর্ঘ্য সমান। অর্থাৎ, $AC = BD$।

প্রমাণ করতে হবে: ABCD একটি আয়তাকার চিত্র।

প্রমাণ:
$\triangle ABC$ এবং $\triangle BAD$ এর মধ্যে—
(i) $BC = AD$ (যেহেতু সামান্তরিকের বিপরীত বাহু সমান)
(ii) $AC = BD$ (প্রদত্ত)
(iii) $AB$ সাধারণ বাহু।
$\therefore S-S-S$ সর্বসমতার শর্তানুসারে, $\triangle ABC \cong \triangle BAD$।
সুতরাং, $\angle ABC = \angle BAD$ (সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ কোণ)।

আবার, $AD \parallel BC$ (সামান্তরিকের ধর্ম) এবং $AB$ তাদের ছেদক।
$\therefore \angle BAD + \angle ABC = 180^\circ$ (ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টি)।
যেহেতু কোণ দুটি সমান, তাই $2\angle ABC = 180^\circ \Rightarrow \angle ABC = 90^\circ$।

যে সামান্তরিকের একটি কোণ সমকোণ ($90^\circ$), সেটি একটি আয়তক্ষেত্র।

প্রদত্ত: ABCD একটি সামান্তরিক যার কর্ণ $AC = BD$ এবং কর্ণদ্বয় পরস্পরকে $O$ বিন্দুতে লম্বভাবে ছেদ করেছে (অর্থাৎ $\angle AOB = 90^\circ$)।

প্রমাণ করতে হবে: ABCD একটি বর্গাকার চিত্র।

প্রমাণ:
যেহেতু কর্ণদ্বয় সমান ($AC = BD$), পূর্ববর্তী প্রমাণের (১ নং) সাহায্যে বলা যায় ABCD একটি আয়তক্ষেত্র।
এখন $\triangle AOB$ এবং $\triangle AOD$ এর মধ্যে—
(i) $OA$ সাধারণ বাহু।
(ii) $OB = OD$ (সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে)।
(iii) $\angle AOB = \angle AOD = 90^\circ$ (প্রদত্ত)।
$\therefore S-A-S$ সর্বসমতার শর্তানুসারে, $\triangle AOB \cong \triangle AOD$।
সুতরাং, $AB = AD$ (সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু)।

যে আয়তক্ষেত্রের একজোড়া সন্নিহিত বাহু সমান ($AB = AD$), সেটি একটি বর্গক্ষেত্র।

প্রদত্ত: ABCD একটি সামান্তরিক যার কর্ণ $AC$ এবং $BD$ পরস্পরকে $O$ বিন্দুতে লম্বভাবে ছেদ করেছে ($\angle AOB = 90^\circ$)।

প্রমাণ করতে হবে: ABCD একটি রম্বস।

প্রমাণ:
$\triangle AOB$ এবং $\triangle AOD$ এর মধ্যে—
(i) $OA$ সাধারণ বাহু।
(ii) $OB = OD$ (সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় সমদ্বিখণ্ডিত করে)।
(iii) $\angle AOB = \angle AOD = 90^\circ$ (প্রদত্ত)।
$\therefore \triangle AOB \cong \triangle AOD$ ($S-A-S$ শর্তে)।
সুতরাং, $AB = AD$।

যে সামান্তরিকের একজোড়া সন্নিহিত বাহু সমান, তার চারটি বাহুই সমান হয়। অর্থাৎ, $AB = BC = CD = DA$।
আর যে চতুর্ভুজের চারটি বাহু সমান, সেটি একটি রম্বস।

প্রদত্ত: ABCD সামান্তরিকের কর্ণদ্বয়ের ছেদবিন্দু $O$। $O$ বিন্দুগামী একটি সরলরেখা $AB$-কে $P$ বিন্দুতে এবং $DC$-কে $Q$ বিন্দুতে ছেদ করেছে।

প্রমাণ করতে হবে: $OP = OQ$

প্রমাণ:
$\triangle AOP$ এবং $\triangle COQ$ এর মধ্যে—
(i) $AO = CO$ (সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে)।
(ii) $\angle AOP = \angle COQ$ (বিপ্রতীপ কোণ)।
(iii) $AB \parallel DC$ (সামান্তরিকের বিপরীত বাহু) এবং $AC$ তাদের ছেদক।
$\therefore$ একান্তর $\angle PAO = \text{একান্তর } \angle OCQ$।

সুতরাং, $A-S-A$ সর্বসমতার শর্তানুসারে $\triangle AOP \cong \triangle COQ$।
অতএব, $OP = OQ$ (সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু)।

প্রদত্ত: ABCD একটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম যার $AB \parallel DC$ এবং তীর্যক বাহুদ্বয় $AD = BC$।

প্রমাণ করতে হবে: $\angle DAB = \angle CBA$ এবং $\angle ADC = \angle BCD$।

অঙ্কন: $C$ বিন্দু দিয়ে $AD$-এর সমান্তরাল করে $CE$ সরলরেখা টানা হলো, যা $AB$-কে $E$ বিন্দুতে ছেদ করে।

প্রমাণ:
AECD চতুর্ভুজের $AE \parallel DC$ (যেহেতু $AB \parallel DC$) এবং $AD \parallel CE$ (অঙ্কনানুসারে)।
$\therefore$ AECD একটি সামান্তরিক।
সুতরাং, $AD = CE$ (সামান্তরিকের বিপরীত বাহু)।
আবার, প্রদত্ত আছে $AD = BC$।
$\therefore CE = BC$।

এখন $\triangle BCE$ এর $CE = BC$ হওয়ায়, $\angle CBE = \angle CEB$ $\dots$ (1)

AECD সামান্তরিকে, $AD \parallel CE$ এবং $AB$ ছেদক।
$\therefore \angle DAE = \text{অনুরূপ } \angle CEB$ $\dots$ (2)

(1) ও (2) থেকে পাই, $\angle DAE = \angle CBE$ অর্থাৎ $\angle DAB = \angle CBA$।

আবার, $AB \parallel DC$ এবং $AD$ ও $BC$ ছেদক।
$\therefore \angle DAB + \angle ADC = 180^\circ$ এবং $\angle CBA + \angle BCD = 180^\circ$।
যেহেতু $\angle DAB = \angle CBA$, তাই $\angle ADC = \angle BCD$ হবে।

প্রদত্ত: ABCD বর্গক্ষেত্রের $BC$ বাহুর উপর $P$ একটি বিন্দু। $BQ \perp AP$ যা $DC$-কে $Q$ বিন্দুতে ছেদ করে।

প্রমাণ করতে হবে: $AP = BQ$

প্রমাণ:
ধরি, $BQ$ এবং $AP$ পরস্পরকে $R$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। $\therefore \angle ARB = 90^\circ$।
এখন সমকোণী $\triangle ARB$ থেকে পাই, $\angle BAR + \angle ABR = 90^\circ$
বা, $\angle BAP + \angle ABR = 90^\circ \dots (1)$

আবার, বর্গক্ষেত্রের কোণ $\angle ABC = 90^\circ$।
$\therefore \angle ABR + \angle CBQ = 90^\circ \dots (2)$

(1) এবং (2) নং তুলনা করে পাই,
$\angle BAP + \angle ABR = \angle ABR + \angle CBQ$
$\Rightarrow \angle BAP = \angle CBQ$

এখন $\triangle ABP$ এবং $\triangle BCQ$ এর মধ্যে—
(i) $\angle BAP = \angle CBQ$ (প্রমাণিত)
(ii) $\angle ABP = \angle BCQ = 90^\circ$ (বর্গক্ষেত্রের কোণ)
(iii) $AB = BC$ (বর্গক্ষেত্রের বাহু)
$\therefore A-S-A$ সর্বসমতার শর্তে $\triangle ABP \cong \triangle BCQ$।
সুতরাং, $AP = BQ$ (সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু)।

প্রদত্ত: ABCD চতুর্ভুজের $\angle BAD = \angle BCD$ এবং $AB \parallel DC$।

প্রমাণ করতে হবে: ABCD একটি সামান্তরিক।

অঙ্কন: কর্ণ $AC$ যুক্ত করা হলো।

প্রমাণ:
যেহেতু $AB \parallel DC$ এবং $AC$ তাদের ছেদক,
$\therefore \text{একান্তর } \angle BAC = \text{একান্তর } \angle ACD \dots (1)$

প্রদত্ত আছে, $\angle BAD = \angle BCD$
$\Rightarrow \angle BAC + \angle DAC = \angle BCA + \angle ACD$

(1) নং এর মান বসিয়ে পাই,
$\angle ACD + \angle DAC = \angle BCA + \angle ACD$
$\Rightarrow \angle DAC = \angle BCA \dots (2)$

এখন $\triangle ABC$ এবং $\triangle ADC$ এর মধ্যে—
(i) $\angle BAC = \angle ACD$ [(1) থেকে]
(ii) $AC$ সাধারণ বাহু।
(iii) $\angle BCA = \angle DAC$ [(2) থেকে]
$\therefore A-S-A$ শর্তে $\triangle ABC \cong \triangle ADC$।
সুতরাং, $AD = BC$ এবং $\angle B = \angle D$।
যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলি সমান এবং সমান্তরাল, সেটি একটি সামান্তরিক।

প্রদত্ত: $\triangle ABC$-এর মধ্যমা $BP$ ও $CQ$। $BP = PR$ এবং $CQ = QS$।

প্রমাণ করতে হবে: S, A, R বিন্দু তিনটি সমরেখ (Collinear)।

প্রমাণ:
চতুর্ভুজ ASBC এর কর্ণদ্বয় $AB$ এবং $CS$ পরস্পরকে $Q$ বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করেছে (যেহেতু $CQ=QS$ এবং $Q$, $AB$ এর মধ্যবিন্দু)।
$\therefore$ ASBC একটি সামান্তরিক।
সুতরাং, $SA \parallel BC \dots (1)$

একইভাবে, চতুর্ভুজ ARCB এর কর্ণদ্বয় $AC$ এবং $BR$ পরস্পরকে $P$ বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করেছে ($BP=PR$ এবং $P$, $AC$ এর মধ্যবিন্দু)।
$\therefore$ ARCB একটি সামান্তরিক।
সুতরাং, $AR \parallel BC \dots (2)$

(1) ও (2) নং থেকে পাই,
$SA$ এবং $AR$ উভয়েই $BC$ এর সমান্তরাল এবং উভয় রেখাংশই একটি সাধারণ বিন্দু $A$ দিয়ে যায়।
আমরা জানি, কোনো নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে একটি সরলরেখার সমান্তরাল কেবলমাত্র একটি সরলরেখাই অঙ্কন করা যায়।
অতএব, $SA$ এবং $AR$ একই সরলরেখার উপর অবস্থিত।

প্রমাণ:
PQRS একটি সামান্তরিক, এর কর্ণদ্বয় $PR$ এবং $SQ$ পরস্পরকে $O$ বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
$\therefore PO = OR$ এবং $SO = OQ$।

প্রদত্ত আছে, $SQ$ কর্ণটি $K$ ও $L$ বিন্দুতে সমান তিনভাগে বিভক্ত হয়েছে। অর্থাৎ, $SK = KL = LQ$।
এখন, $KO = SO - SK$ এবং $LO = OQ - LQ$।
যেহেতু $SO = OQ$ এবং $SK = LQ$, তাই $KO = LO$।

এখন চতুর্ভুজ PKRL এর কর্ণদ্বয় $PR$ এবং $KL$ পরস্পরকে $O$ বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করেছে ($PO=OR$ এবং $KO=LO$)।
$\therefore$ PKRL একটি সামান্তরিক।
এর অর্থ, $PK \parallel RL$ অর্থাৎ $PM \parallel RN$ $\dots$ (1)

আবার, PQRS সামান্তরিক হওয়ায় $PQ \parallel SR$ $\Rightarrow PN \parallel RM$ $\dots$ (2)

যেহেতু PMRN চতুর্ভুজের $PM \parallel RN$ এবং $PN \parallel RM$, তাই এটি একটি সামান্তরিক।

প্রমাণ:
ধরি, AC কর্ণটি উভয় সামান্তরিকের অপর কর্ণগুলিকে $O$ বিন্দুতে ছেদ করেছে।

ABCD সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় $AC$ এবং $BD$ পরস্পরকে $O$ বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করেছে।
$\therefore OB = OD$ $\dots$ (1)

একইভাবে, AECF সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় $AC$ এবং $EF$ পরস্পরকে ঐ একই $O$ বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করেছে।
$\therefore OE = OF$ $\dots$ (2)

এখন, চতুর্ভুজ BEDF এর কর্ণদ্বয় হলো $BD$ এবং $EF$ যারা পরস্পরকে $O$ বিন্দুতে ছেদ করেছে।
(1) এবং (2) নং সমীকরণ থেকে আমরা দেখতে পাচ্ছি যে, কর্ণদ্বয় $BD$ এবং $EF$ পরস্পরকে $O$ বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করেছে ($OB=OD$ এবং $OE=OF$)।

আমরা জানি, কোনো চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করলে সেটি একটি সামান্তরিক হয়।

প্রমাণ:
ABCE একটি সামান্তরিক।
$\therefore AE \parallel BC$ এবং $AE = BC$ $\dots$ (1)

BADF একটি সামান্তরিক।
$\therefore BF \parallel AD$ এবং $BF = AD$ $\dots$ (2)

আমরা জানি যে দুটি সমান ও সমান্তরাল রেখাংশ যোগ করলে একটি সামান্তরিক পাওয়া যায়।
ABCE সামান্তরিকে $\vec{AE} = \vec{BC}$। BADF সামান্তরিকে $\vec{AF} = \vec{BD}$।
এই ধর্মগুলো থেকে প্রমাণ করা যায় যে, $EC$ এবং $FD$ সমান ও সমান্তরাল।
$\therefore$ ECDF একটি সামান্তরিক।
যেহেতু ECDF একটি সামান্তরিক, এর কর্ণদ্বয় $CD$ এবং $EF$ পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করবে।

প্রমাণ:
ধরি, $\angle A$ এবং $\angle B$ এর সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় $DC$ বাহুর উপর $E$ বিন্দুতে মিলিত হয়েছে।

যেহেতু $AE$ হলো $\angle A$ এর সমদ্বিখণ্ডক, তাই $\angle DAE = \angle EAB$।
আবার $AB \parallel DC$ এবং $AE$ ছেদক হওয়ায়, একান্তর $\angle EAB = \angle DEA$।
$\therefore \angle DAE = \angle DEA$।
সুতরাং $\triangle ADE$ একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ এবং $AD = DE$ $\dots$ (1)

একইভাবে, $BE$ হলো $\angle B$ এর সমদ্বিখণ্ডক।
তাই $\angle CBE = \angle EBA = \text{একান্তর } \angle CEB$।
সুতরাং $\triangle BCE$ একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ এবং $BC = CE$ $\dots$ (2)

আমরা জানি, সামান্তরিকের বিপরীত বাহু সমান। $\therefore AD = BC$।
তাহলে, (1) ও (2) থেকে পাই, $DE = CE$।
অর্থাৎ, $E$ বিন্দুটি $DC$ বাহুর মধ্যবিন্দু। (প্রথম অংশ প্রমাণিত)

এখন, সামান্তরিকের সন্নিহিত কোণের সমষ্টি $180^\circ$।
$\therefore \angle DAB + \angle CBA = 180^\circ$
$\Rightarrow \frac{1}{2}\angle DAB + \frac{1}{2}\angle CBA = 90^\circ$
$\Rightarrow \angle EAB + \angle EBA = 90^\circ$

$\triangle ABE$ এ, $\angle AEB = 180^\circ - (\angle EAB + \angle EBA) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$।
অর্থাৎ সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় সমকোণে মিলিত হয়।

প্রমাণ:
আমাদের $\triangle CBP$ এবং $\triangle CDR$ -কে সর্বসম প্রমাণ করতে হবে।

১. $BC = AD$ (ABCD সামান্তরিকের বিপরীত বাহু) এবং $AD = DR$ (ADRS বর্গক্ষেত্রের বাহু)।
$\therefore BC = DR$

২. $CD = AB$ (ABCD সামান্তরিকের বিপরীত বাহু) এবং $AB = BP$ (ABPQ বর্গক্ষেত্রের বাহু)।
$\therefore CD = BP$

৩. কোণের পরিমাপ:
বর্গক্ষেত্রের কোণগুলো $90^\circ$ হয়।
$\angle CBP = 90^\circ + \angle ABC$
$\angle CDR = 90^\circ + \angle ADC$
আমরা জানি সামান্তরিকের বিপরীত কোণ সমান হয়, অর্থাৎ $\angle ABC = \angle ADC$।
$\therefore \angle CBP = \angle CDR$

সুতরাং, $S-A-S$ সর্বসমতার শর্তানুসারে, $\triangle CBP \cong \triangle CDR$।
$\therefore CP = CR$ (সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু)।

যেহেতু $\triangle PRC$ এর দুটি বাহু $CP$ এবং $CR$ সমান, তাই এটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।

প্রমাণ:
আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে $PQ = QC = PC$। এর জন্য আমরা $\triangle QDC$, $\triangle CBP$ এবং $\triangle PAQ$ -কে সর্বসম প্রমাণ করব।

$\triangle ABP$ সমবাহু, তাই $AP = BP = AB$ এবং এর প্রতিটি কোণ $60^\circ$।
$\triangle ADQ$ সমবাহু, তাই $AQ = DQ = AD$ এবং এর প্রতিটি কোণ $60^\circ$।

এখন $\triangle QDC$ এবং $\triangle CBP$ এর মধ্যে:
১. $QD = AD = BC$ (যেহেতু সামান্তরিকের $AD = BC$)
২. $DC = AB = BP$ (যেহেতু সামান্তরিকের $AB = DC$)
৩. $\angle QDC = 60^\circ + \angle ADC$ এবং $\angle CBP = 60^\circ + \angle ABC$। সামান্তরিকে $\angle ADC = \angle ABC$ হওয়ায়, $\angle QDC = \angle CBP$।
$\therefore \triangle QDC \cong \triangle CBP$ (S-A-S)।
সুতরাং, $QC = PC$ (অনুরূপ বাহু)।

এবার $\triangle PAQ$ এর কথা বিবেচনা করি।
$AQ = AD = BC$ এবং $AP = AB = CD$।
বিন্দু A তে মোট কোণ $360^\circ$।
$\angle PAQ = 360^\circ - (\angle QAD + \angle DAB + \angle PAB)$
$= 360^\circ - (60^\circ + \angle DAB + 60^\circ) = 240^\circ - \angle DAB$।
আবার, সামান্তরিকের সন্নিহিত কোণ $\angle ADC + \angle DAB = 180^\circ \Rightarrow \angle ADC = 180^\circ - \angle DAB$।
তাহলে, $\angle QDC = 60^\circ + \angle ADC = 60^\circ + 180^\circ - \angle DAB = 240^\circ - \angle DAB$।
$\therefore \angle PAQ = \angle QDC$।
সুতরাং $\triangle PAQ \cong \triangle QDC$ (S-A-S)।
অতএব, $PQ = QC$।

যেহেতু $PQ = QC$ এবং $QC = PC$, তাই $PQ = QC = PC$।

প্রমাণ:
OPAQ একটি সামান্তরিক। $\therefore PA \parallel OQ$ এবং $PA = OQ$ $\dots (1)$
OQBR একটি সামান্তরিক। $\therefore RB \parallel OQ$ এবং $RB = OQ$ $\dots (2)$
(1) ও (2) থেকে পাই, $PA \parallel RB$ এবং $PA = RB$।
সুতরাং, PABR চতুর্ভুজের একজোড়া বিপরীত বাহু সমান ও সমান্তরাল।
$\therefore$ PABR একটি সামান্তরিক।
আমরা জানি সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। তাই PABR সামান্তরিকের কর্ণ $PB$ এবং $AR$ পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করবে। $\dots$ (i)

একইভাবে, OPAQ সামান্তরিক থেকে $QA \parallel OP$ এবং $QA = OP$।
ORCP সামান্তরিক থেকে $RC \parallel OP$ এবং $RC = OP$।
সুতরাং, $QA \parallel RC$ এবং $QA = RC$।
অতএব, AQRC একটি সামান্তরিক।
এর কর্ণদ্বয় $AR$ এবং $CQ$ পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করবে। $\dots$ (ii)

(i) এবং (ii) থেকে দেখা যাচ্ছে যে $AR$ কর্ণটি $PB$ এবং $CQ$ উভয়কেই সমদ্বিখণ্ডিত করে।
অর্থাৎ, $AR$, $BP$ এবং $CQ$ সরলরেখাংশ তিনটি একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে (যেটি $AR$-এর মধ্যবিন্দু) মিলিত হয় এবং পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।