কষে দেখি 20 (Koshe Dekhi 20)

প্রমাণ:

তিনটি বিন্দু সমরেখ (collinear) হলে তাদের দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল শূন্য (0) হবে।

এখানে $x_1=3, y_1=-2; x_2=-5, y_2=4; x_3=-1, y_3=1$

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$

$= \frac{1}{2} |3(4 - 1) + (-5)(1 - (-2)) + (-1)(-2 - 4)|$

$= \frac{1}{2} |3(3) - 5(3) - 1(-6)|$

$= \frac{1}{2} |9 - 15 + 6|$

$= \frac{1}{2} |15 - 15|$

$= \frac{1}{2} \times 0 = 0$

যেহেতু ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল শূন্য, তাই বিন্দু তিনটি সমরেখ।

সমাধান:

বিন্দু তিনটি একই সরলরেখায় থাকলে তাদের দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল শূন্য হবে।

এখানে $x_1=1, y_1=-1; x_2=2, y_2=-1; x_3=K, y_3=-1$

ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2} |1(-1 - (-1)) + 2(-1 - (-1)) + K(-1 - (-1))| = 0$

$\Rightarrow \frac{1}{2} |1(0) + 2(0) + K(0)| = 0$

$\Rightarrow 0 = 0$

দেখা যাচ্ছে যে, প্রদত্ত বিন্দু তিনটির কোটি (y-স্থানাঙ্ক) সর্বদা -1। এর অর্থ হলো বিন্দু তিনটি $y = -1$ সমীকরণের সরলরেখার উপর অবস্থিত, যা x-অক্ষের সমান্তরাল।

সুতরাং, $K$ এর যে কোনো বাস্তব মানের জন্যই বিন্দু তিনটি সমরেখ হবে।

প্রমাণ:

মূলবিন্দুর স্থানাঙ্ক (0, 0)।

বিন্দু তিনটি হলো: (1, 2), (-2, -4) এবং (0, 0)।

যদি এই তিনটি বিন্দু দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল শূন্য হয়, তবে তারা সমরেখ হবে এবং (1, 2) ও (-2, -4) এর সংযোজক সরলরেখাটি মূলবিন্দুগামী হবে।

ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2} |1(-4 - 0) + (-2)(0 - 2) + 0(2 - (-4))|$

$= \frac{1}{2} |-4 + 4 + 0|$

$= \frac{1}{2} |0| = 0$

যেহেতু ক্ষেত্রফল শূন্য, তাই বিন্দু তিনটি সমরেখ।

প্রমাণ:

প্রথমে (2, 1) এবং (6, 5) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করি:

মধ্যবিন্দু $= \left( \frac{2+6}{2}, \frac{1+5}{2} \right) = \left( \frac{8}{2}, \frac{6}{2} \right) = (4, 3)$

এখন, প্রমাণ করতে হবে যে (4, 3), (-4, -5) এবং (9, 8) বিন্দু তিনটি সমরেখ।

এই তিনটি বিন্দু দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল:

$= \frac{1}{2} |4(-5 - 8) + (-4)(8 - 3) + 9(3 - (-5))|$

$= \frac{1}{2} |4(-13) - 4(5) + 9(8)|$

$= \frac{1}{2} |-52 - 20 + 72|$

$= \frac{1}{2} |-72 + 72| = 0$

যেহেতু ক্ষেত্রফল শূন্য, তাই বিন্দু তিনটি সমরেখ।

সমাধান:

(i) ABC ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল:

এখানে $A(3, 4), B(-4, 3), C(8, -6)$

ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2} |3(3 - (-6)) + (-4)(-6 - 4) + 8(4 - 3)|$

$= \frac{1}{2} |3(9) - 4(-10) + 8(1)|$

$= \frac{1}{2} |27 + 40 + 8|$

$= \frac{1}{2} |75| = 37.5$ বর্গ একক।

(ii) A বিন্দু থেকে BC বাহুর উপর লম্বের দৈর্ঘ্য:

প্রথমে BC বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি:

$BC = \sqrt{(8 - (-4))^2 + (-6 - 3)^2} = \sqrt{12^2 + (-9)^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15$ একক।

আমরা জানি, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা (লম্বের দৈর্ঘ্য)}$

ধরি, লম্বের দৈর্ঘ্য = $h$

$\therefore \frac{1}{2} \times BC \times h = 37.5$

$\Rightarrow \frac{1}{2} \times 15 \times h = 37.5$

$\Rightarrow 7.5h = 37.5 \Rightarrow h = \frac{37.5}{7.5} = 5$ একক।

সমাধান:

ধরি, BC বাহুর মধ্যবিন্দু D এর স্থানাঙ্ক $(x, y)$।

যেহেতু AD একটি মধ্যমা এবং ভরকেন্দ্র G(-2, 1) এই মধ্যমাকে 2:1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে,

তাই A(2, 5) এবং D(x, y) এর সংযোজক সরলরেখাকে G বিন্দু 2:1 অনুপাতে ভাগ করেছে।

বিভাজনের সূত্র অনুযায়ী:

ভরকেন্দ্রের ভুজ $= \frac{2x + 1(2)}{2 + 1} = -2$

$\Rightarrow \frac{2x + 2}{3} = -2 \Rightarrow 2x + 2 = -6 \Rightarrow 2x = -8 \Rightarrow x = -4$

ভরকেন্দ্রের কোটি $= \frac{2y + 1(5)}{2 + 1} = 1$

$\Rightarrow \frac{2y + 5}{3} = 1 \Rightarrow 2y + 5 = 3 \Rightarrow 2y = -2 \Rightarrow y = -1$

সমাধান:

ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু: $(4, -3), (-5, 2), (x, y)$।

ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক $= \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)$

প্রদত্ত, ভরকেন্দ্রটি মূলবিন্দু, অর্থাৎ (0, 0)।

শর্তানুসারে,

$\frac{4 - 5 + x}{3} = 0 \Rightarrow -1 + x = 0 \Rightarrow x = 1$

$\frac{-3 + 2 + y}{3} = 0 \Rightarrow -1 + y = 0 \Rightarrow y = 1$

সমাধান:

প্রথমে D, E, F বিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক নির্ণয় করি:

D (BC এর মধ্যবিন্দু) $= \left(\frac{3 + 5}{2}, \frac{1 + 7}{2}\right) = (4, 4)$

E (CA এর মধ্যবিন্দু) $= \left(\frac{5 - 1}{2}, \frac{7 + 5}{2}\right) = (2, 6)$

F (AB এর মধ্যবিন্দু) $= \left(\frac{-1 + 3}{2}, \frac{5 + 1}{2}\right) = (1, 3)$

$\triangle$DEF এর ক্ষেত্রফল:

$= \frac{1}{2} |4(6 - 3) + 2(3 - 4) + 1(4 - 6)|$

$= \frac{1}{2} |4(3) + 2(-1) + 1(-2)| = \frac{1}{2} |12 - 2 - 2| = \frac{1}{2} |8| = 4$ বর্গ একক।

$\triangle$ABC এর ক্ষেত্রফল:

$= \frac{1}{2} |-1(1 - 7) + 3(7 - 5) + 5(5 - 1)|$

$= \frac{1}{2} |-1(-6) + 3(2) + 5(4)| = \frac{1}{2} |6 + 6 + 20| = \frac{1}{2} |32| = 16$ বর্গ একক।

তুলনা:

দেখা যাচ্ছে, $\triangle$ABC = 16 এবং 4 $\times \triangle$DEF = 4 $\times$ 4 = 16।