পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদের নবম শ্রেণির গণিত প্রকাশ বইয়ের অধ্যায় ১৮ (বৃত্তের ক্ষেত্রফল) এর 'কষে দেখি ১৮' এর সম্পূর্ণ সমাধান।
সমাধান:
দড়ির দৈর্ঘ্যই হলো বৃত্তাকার জমির ব্যাসার্ধ।
$\therefore$ জমির ব্যাসার্ধ ($r$) = 2.1 মিটার।
গোরুটি সবথেকে বেশি যে পরিমাণ জমির ঘাস খেতে পারবে তা হলো একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল।
বৃত্তের ক্ষেত্রফল $= \pi r^2$
$= \frac{22}{7} \times (2.1)^2$
$= \frac{22}{7} \times 4.41$
$= 22 \times 0.63 = 13.86$ বর্গ মিটার।
সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = $r$ সেমি।
শর্তানুসারে, বৃত্তের পরিধি = 35.2 সেমি।
$\therefore 2\pi r = 35.2$
$\Rightarrow 2 \times \frac{22}{7} \times r = \frac{352}{10}$
$\Rightarrow \frac{44}{7} r = \frac{352}{10}$
$\Rightarrow r = \frac{352 \times 7}{44 \times 10} = \frac{8 \times 7}{10} = \frac{56}{10} = 5.6$ সেমি।
বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $= \pi r^2$
$= \frac{22}{7} \times (5.6)^2 = \frac{22}{7} \times 31.36$
$= 22 \times 4.48 = 98.56$ বর্গ সেমি।
সমাধান:
ধরি, গোলাকার টেবিলের ঢাকনার ব্যাসার্ধ = $r$ সেমি।
শর্তানুসারে, ক্ষেত্রফল = 5544 বর্গ সেমি।
$\therefore \pi r^2 = 5544$
$\Rightarrow \frac{22}{7} \times r^2 = 5544$
$\Rightarrow r^2 = \frac{5544 \times 7}{22}$
$\Rightarrow r^2 = 252 \times 7 = 1764$
$\Rightarrow r = \sqrt{1764} = 42$ সেমি।
ঢাকনার চারিদিকে রঙিন ফিতে লাগাতে হবে, অর্থাৎ এর পরিধি নির্ণয় করতে হবে।
ফিতের দৈর্ঘ্য = ঢাকনার পরিধি $= 2\pi r$
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 42$
$= 44 \times 6 = 264$ সেমি।
সমাধান:
মাঠটি ঘিরতে (অর্থাৎ পরিধি বরাবর) মোট খরচ 924 টাকা এবং প্রতি মিটারে খরচ 21 টাকা।
$\therefore$ মাঠটির পরিধি $= \frac{924}{21} = 44$ মিটার।
ধরি, মাঠের ব্যাসার্ধ = $r$ মিটার।
$\therefore 2\pi r = 44 \Rightarrow 2 \times \frac{22}{7} \times r = 44 \Rightarrow \frac{44}{7} r = 44 \Rightarrow r = 7$ মিটার।
মাঠটি ত্রিপল দিয়ে ঢেকে দেওয়ার অর্থ হলো মাঠের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা।
ত্রিপলের পরিমাণ = মাঠের ক্ষেত্রফল $= \pi r^2$
$= \frac{22}{7} \times 7^2 = \frac{22}{7} \times 49 = 22 \times 7 = 154$ বর্গ মিটার।
সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = $r$ সেমি।
শর্তানুসারে, ক্ষেত্রফল = 616 বর্গ সেমি।
$\therefore \pi r^2 = 616$
$\Rightarrow \frac{22}{7} r^2 = 616 \Rightarrow r^2 = \frac{616 \times 7}{22} = 28 \times 7 = 196$
$\Rightarrow r = \sqrt{196} = 14$ সেমি।
বৃত্তের পরিধি $= 2\pi r = 2 \times \frac{22}{7} \times 14 = 44 \times 2 = 88$ সেমি।
সমাধান:
ধরি, পলাশ ও পিয়ালীর আঁকা বৃত্তের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে $4x$ এবং $5x$ একক।
পলাশের বৃত্তের ক্ষেত্রফল $= \pi (4x)^2 = 16\pi x^2$ বর্গ একক।
পিয়ালীর বৃত্তের ক্ষেত্রফল $= \pi (5x)^2 = 25\pi x^2$ বর্গ একক।
ক্ষেত্রফলের অনুপাত $= 16\pi x^2 : 25\pi x^2 = 16 : 25$।
সমাধান:
তারটির মোট দৈর্ঘ্য = সুমিতের তৈরি আয়তাকার চিত্রের পরিসীমা
$= 2 \times (\text{দৈর্ঘ্য} + \text{প্রস্থ}) = 2 \times (48 + 40) = 2 \times 88 = 176$ সেমি।
সুমিতের আয়তাকার চিত্রের ক্ষেত্রফল $= 48 \times 40 = 1920$ বর্গ সেমি।
রেবা 176 সেমি দৈর্ঘ্যের তারটি দিয়ে বৃত্ত তৈরি করেছে।
$\therefore$ বৃত্তের পরিধি = 176 সেমি।
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = $r$ সেমি।
$2\pi r = 176 \Rightarrow 2 \times \frac{22}{7} \times r = 176 \Rightarrow \frac{44}{7} r = 176 \Rightarrow r = \frac{176 \times 7}{44} = 4 \times 7 = 28$ সেমি।
রেবার তৈরি বৃত্তের ক্ষেত্রফল $= \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 28^2 = \frac{22}{7} \times 784 = 22 \times 112 = 2464$ বর্গ সেমি।
দেখা যাচ্ছে, 2464 > 1920।
সমাধান:
আয়তাকার মাঠের ক্ষেত্রফল $= \text{দৈর্ঘ্য} \times \text{প্রস্থ} = 60 \times 42 = 2520$ বর্গ মিটার।
মাঝখানে থাকা বৃত্তাকার জলাশয়ের ব্যাসার্ধ = 14 মিটার।
জলাশয়ের ক্ষেত্রফল $= \pi r^2 = \frac{22}{7} \times (14)^2 = \frac{22}{7} \times 196 = 22 \times 28 = 616$ বর্গ মিটার।
জলাশয় বাদে আয়তাকার মাঠের বাকি অংশের ক্ষেত্রফল $= 2520 - 616 = 1904$ বর্গ মিটার।
প্রতি বর্গমিটার 75 টাকা হিসাবে ঘাস লাগাতে মোট খরচ হবে $= 1904 \times 75 = 142800$ টাকা।
সমাধান:
ধরি, বৃত্তাকার পার্কের ব্যাসার্ধ = $r$ মিটার।
শর্তানুসারে, পার্কের পরিধি = 352 মিটার।
$2\pi r = 352 \Rightarrow 2 \times \frac{22}{7} \times r = 352 \Rightarrow \frac{44}{7} r = 352 \Rightarrow r = \frac{352 \times 7}{44} = 8 \times 7 = 56$ মিটার।
বাইরের দিকে 7 মিটার চওড়া রাস্তা আছে।
$\therefore$ রাস্তাসহ পার্কের বাইরের ব্যাসার্ধ ($R$) $= 56 + 7 = 63$ মিটার।
রাস্তাটির ক্ষেত্রফল $= \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2)$
$= \frac{22}{7} (63^2 - 56^2) = \frac{22}{7} \times (63+56)(63-56)$
$= \frac{22}{7} \times 119 \times 7 = 22 \times 119 = 2618$ বর্গ মিটার।
প্রতি বর্গমিটার 20 টাকা হিসাবে রাস্তা বাঁধাতে মোট খরচ $= 2618 \times 20 = 52360$ টাকা।
সমাধান:
প্রতি মিটার 18.50 টাকা হিসাবে বেড়া দিতে মোট খরচ হয়েছে 2664 টাকা।
$\therefore$ অর্ধবৃত্তাকার জমির পরিসীমা $= \frac{2664}{18.50} = 144$ মিটার।
ধরি, অর্ধবৃত্তাকার জমির ব্যাসার্ধ = $r$ মিটার।
অর্ধবৃত্তের পরিসীমার সূত্র: $r(\pi + 2)$
শর্তানুসারে, $r(\pi + 2) = 144$
$\Rightarrow r \left(\frac{22}{7} + 2\right) = 144$
$\Rightarrow r \left(\frac{36}{7}\right) = 144$
$\Rightarrow r = 144 \times \frac{7}{36} = 4 \times 7 = 28$ মিটার।
অর্ধবৃত্তাকার জমির ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2} \pi r^2$
$= \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times (28)^2 = 11 \times 4 \times 28 = 1232$ বর্গ মিটার।
প্রতি বর্গ মিটার 32 টাকা হিসাবে চাষ করাতে মোট খরচ হবে $= 1232 \times 32 = 39424$ টাকা।
সমাধান:
রজতের গতিবেগ = 9 মিটার/সেকেন্ড।
30 সেকেন্ড সময়ে সে দূরত্ব অতিক্রম করে $= 9 \times 30 = 270$ মিটার।
শর্তানুসারে, বৃত্তাকার মাঠের পরিধি এবং ব্যাসের দূরত্বের পার্থক্যই হলো এই 270 মিটার।
ধরি, মাঠের ব্যাসার্ধ = $r$ মিটার।
$\therefore 2\pi r - 2r = 270$
$\Rightarrow 2r(\pi - 1) = 270$
$\Rightarrow 2r\left(\frac{22}{7} - 1\right) = 270$
$\Rightarrow 2r\left(\frac{15}{7}\right) = 270$
$\Rightarrow \frac{30r}{7} = 270 \Rightarrow r = \frac{270 \times 7}{30} = 9 \times 7 = 63$ মিটার।
স্কুলের মাঠের ক্ষেত্রফল $= \pi r^2$
$= \frac{22}{7} \times (63)^2 = \frac{22}{7} \times 3969 = 22 \times 567 = 12474$ বর্গ মিটার।
সমাধান:
ধরি, রাস্তা সমেত বাইরের ব্যাসার্ধ $R$ মিটার এবং ভিতরের মাঠের ব্যাসার্ধ $r$ মিটার।
শর্তানুসারে, বাইরের পরিধি ও ভিতরের পরিধির পার্থক্য 132 মিটার।
$2\pi R - 2\pi r = 132$
$\Rightarrow 2\pi (R - r) = 132$
$\Rightarrow 2 \times \frac{22}{7} \times (R - r) = 132$
$\Rightarrow \frac{44}{7} (R - r) = 132 \Rightarrow R - r = \frac{132 \times 7}{44} = 3 \times 7 = 21$ মিটার $\dots (i)$
আবার, পথটির ক্ষেত্রফল = 14190 বর্গ মি।
$\therefore \pi R^2 - \pi r^2 = 14190$
$\Rightarrow \pi (R^2 - r^2) = 14190$
$\Rightarrow \frac{22}{7} (R + r)(R - r) = 14190$
সমীকরণ (i) থেকে $R - r = 21$ বসিয়ে পাই:
$\frac{22}{7} \times (R + r) \times 21 = 14190$
$\Rightarrow 66 \times (R + r) = 14190$
$\Rightarrow R + r = \frac{14190}{66} = 215 \dots (ii)$
(ii) নং সমীকরণ থেকে (i) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই:
$(R + r) - (R - r) = 215 - 21$
$\Rightarrow 2r = 194 \Rightarrow r = 97$ মিটার।
বৃত্তাকার মাঠটির ক্ষেত্রফল $= \pi r^2$
$= \frac{22}{7} \times 97^2 = \frac{22}{7} \times 9409 \approx 29571.43$ বর্গ মিটার (বা $29571\frac{3}{7}$ বর্গ মি.)।
ছবিতে একটি বৃত্তের ভিতরে একটি বর্গক্ষেত্র (ABCD) অন্তর্লিখিত আছে। রেখাঙ্কিত অঞ্চলটি হলো বৃত্তের ক্ষেত্রফল এবং বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের পার্থক্য।
বৃত্তের ব্যাসার্ধ ($r$) = 7 সেমি।
বৃত্তের ক্ষেত্রফল $= \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 7^2 = 154$ বর্গ সেমি।
যেহেতু বর্গক্ষেত্রটি বৃত্তের মধ্যে অন্তর্লিখিত, তাই বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = বৃত্তের ব্যাস $= 2 \times 7 = 14$ সেমি।
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $= \frac{\text{কর্ণ}^2}{2} = \frac{14^2}{2} = \frac{196}{2} = 98$ বর্গ সেমি।
রেখাঙ্কিত অঞ্চলের ক্ষেত্রফল $= 154 - 98 = 56$ বর্গ সেমি।
চারটি সমান বৃত্ত পরস্পরকে স্পর্শ করেছে। তাদের কেন্দ্র A, B, C, D যোগ করলে একটি বর্গক্ষেত্র তৈরি হয়। রেখাঙ্কিত অঞ্চলটি বর্গক্ষেত্রের ভিতরে অবস্থিত।
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 3.5 সেমি।
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = $3.5 + 3.5 = 7$ সেমি।
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $= 7^2 = 49$ বর্গ সেমি।
বর্গক্ষেত্রের ভেতরে 4টি বৃত্তকলা (কোণ $90^\circ$) আছে, যা একত্রে একটি পূর্ণ বৃত্ত তৈরি করে।
4টি বৃত্তকলার মোট ক্ষেত্রফল $= \pi r^2 = \frac{22}{7} \times (3.5)^2 = \frac{22}{7} \times 12.25 = 38.5$ বর্গ সেমি।
রেখাঙ্কিত অঞ্চলের ক্ষেত্রফল $= \text{বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল} - \text{বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল}$
$= 49 - 38.5 = 10.5$ বর্গ সেমি।
সমাধান:
বর্গক্ষেত্র ABCD এর বাহুর দৈর্ঘ্য = 12 সেমি।
$\therefore$ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $= 12 \times 12 = 144$ বর্গ সেমি।
বর্গক্ষেত্রের চার কোণায় 6 সেমি ব্যাসার্ধের 4টি বৃত্তচাপ (বৃত্তকলা) আঁকা হয়েছে। এই 4টি বৃত্তকলা মিলে 6 সেমি ব্যাসার্ধের 1টি সম্পূর্ণ বৃত্ত গঠন করে।
4টি বৃত্তকলার মোট ক্ষেত্রফল (1টি বৃত্তের ক্ষেত্রফল) $= \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 6^2 = \frac{22}{7} \times 36 = \frac{792}{7} = 113.14$ বর্গ সেমি (প্রায়)।
নকশা আঁকা অংশের ক্ষেত্রফল $= \text{বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল} - \text{4টি বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল}$
$= 144 - \frac{792}{7} = \frac{1008 - 792}{7} = \frac{216}{7} = 30\frac{6}{7}$ বর্গ সেমি।
নকশা আঁকা অংশের পরিসীমা = 4টি বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্যের যোগফল = 1টি সম্পূর্ণ বৃত্তের পরিধি।
পরিধি $= 2\pi r = 2 \times \frac{22}{7} \times 6 = \frac{264}{7} = 37\frac{5}{7}$ সেমি।
সমাধান:
ধরি, বৃত্তাকার মাঠের ব্যাসার্ধ $r$ সেমি।
ক্ষেত্রফল $\pi r^2 = 154 \Rightarrow \frac{22}{7} r^2 = 154 \Rightarrow r^2 = \frac{154 \times 7}{22} = 49 \Rightarrow r = 7$ সেমি।
(i) পরিলিখিত বর্গক্ষেত্র (Circumscribed Square):
বর্গক্ষেত্রটি বৃত্তের বাইরে অবস্থিত হলে, তার বাহুর দৈর্ঘ্য বৃত্তের ব্যাসের সমান হবে।
বাহুর দৈর্ঘ্য $= 2r = 2 \times 7 = 14$ সেমি।
পরিসীমা $= 4 \times 14 = 56$ সেমি।
ক্ষেত্রফল $= 14^2 = 196$ বর্গ সেমি।
(ii) অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্র (Inscribed Square):
বর্গক্ষেত্রটি বৃত্তের ভেতরে অবস্থিত হলে, তার কর্ণের দৈর্ঘ্য বৃত্তের ব্যাসের সমান হবে।
কর্ণ $= 2r = 14$ সেমি।
বাহুর দৈর্ঘ্য $= \frac{\text{কর্ণ}}{\sqrt{2}} = \frac{14}{\sqrt{2}} = 7\sqrt{2}$ সেমি।
পরিসীমা $= 4 \times 7\sqrt{2} = 28\sqrt{2}$ সেমি।
ক্ষেত্রফল $= \frac{\text{কর্ণ}^2}{2} = \frac{14^2}{2} = \frac{196}{2} = 98$ বর্গ সেমি।
ছবিতে একটি $90^\circ$ কোণের বৃত্তকলা (Quarter circle) এবং একটি সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle OAB$ আছে। ব্যাসার্ধ $r = 12$ সেমি। রেখাঙ্কিত অংশটি একটি বৃত্তাংশ (Segment)।
পরিসীমা: চাপ AB + জ্যা AB
চাপ AB $= \frac{1}{4} \times 2\pi r = \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 12 = \frac{132}{7} = 18.86$ সেমি (প্রায়)।
জ্যা AB $= \sqrt{12^2 + 12^2} = 12\sqrt{2} \approx 12 \times 1.414 = 16.97$ সেমি।
মোট পরিসীমা $= 18.86 + 16.97 = 35.83$ সেমি (প্রায়)।
ক্ষেত্রফল: বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল - $\triangle OAB$ এর ক্ষেত্রফল
$= \frac{1}{4} \pi r^2 - \frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{লম্ব}$
$= \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 144 - \frac{1}{2} \times 12 \times 12$
$= 113.14 - 72 = 41.14$ বর্গ সেমি (প্রায়)।
ছবিতে একটি $60^\circ$ কোণের বৃত্তকলা এবং একটি ত্রিভুজ $\triangle OAB$ আছে। ব্যাসার্ধ $r = 42$ সেমি।
যেহেতু কেন্দ্রীয় কোণ $60^\circ$ এবং $OA = OB = 42$, তাই $\triangle OAB$ একটি সমবাহু ত্রিভুজ। জ্যা $AB = 42$ সেমি।
পরিসীমা: চাপ AB + জ্যা AB
চাপ AB $= \frac{60}{360} \times 2\pi r = \frac{1}{6} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 42 = 44$ সেমি।
জ্যা AB = 42 সেমি।
মোট পরিসীমা $= 44 + 42 = 86$ সেমি।
ক্ষেত্রফল: বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল - সমবাহু $\triangle OAB$ এর ক্ষেত্রফল
$= \frac{60}{360} \pi r^2 - \frac{\sqrt{3}}{4} \times \text{বাহু}^2$
$= \frac{1}{6} \times \frac{22}{7} \times (42)^2 - \frac{\sqrt{3}}{4} \times (42)^2$
$= 924 - 441\sqrt{3}$ বর্গ সেমি।
সমাধান:
বালাটির বহির্ব্যাস = 28 সেমি $\Rightarrow$ বহির্ব্যাসার্ধ ($R$) = 14 সেমি।
ধরি, অন্তর্ব্যাসার্ধ = $r$ সেমি।
বালাটিতে ধাতু থাকার পরিমাণ হলো তার ক্ষেত্রফল।
$\therefore$ বালার ক্ষেত্রফল $= \pi(R^2 - r^2) = 269.5$ বর্গ সেমি।
$\Rightarrow \frac{22}{7} (14^2 - r^2) = 269.5$
$\Rightarrow 196 - r^2 = 269.5 \times \frac{7}{22}$
$\Rightarrow 196 - r^2 = 85.75$
$\Rightarrow r^2 = 196 - 85.75 = 110.25$
$\Rightarrow r = \sqrt{110.25} = 10.5$ সেমি।
অন্তর্ব্যাসার্ধ 10.5 সেমি হলে, অন্তর্ব্যাসের দৈর্ঘ্য $= 2 \times 10.5 = 21$ সেমি।
সমাধান:
সমবাহু ত্রিভুজ ABC এর প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য ($a$) = 10 সেমি।
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $= \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 10^2 = 25\sqrt{3}$ বর্গ সেমি।
$\sqrt{3} \approx 1.732$ বসালে, ক্ষেত্রফল $= 25 \times 1.732 = 43.3$ বর্গ সেমি।
A, B, C বিন্দুকে কেন্দ্র করে 5 সেমি ব্যাসার্ধের 3টি বৃত্তকলা আঁকা হয়েছে। সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণ $60^\circ$।
3টি বৃত্তকলার মোট কোণ $= 3 \times 60^\circ = 180^\circ$ (যা একটি অর্ধবৃত্তের সমান)।
3টি বৃত্তকলার মোট ক্ষেত্রফল $= \frac{180^\circ}{360^\circ} \times \pi r^2 = \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 5^2 = \frac{11 \times 25}{7} = \frac{275}{7} \approx 39.285$ বর্গ সেমি।
রঙিন জায়গার (মাঝের অংশ) ক্ষেত্রফল $= \text{ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল} - \text{বৃত্তকলাগুলির ক্ষেত্রফল}$
$= 43.3 - 39.285 = 4.015$ বর্গ সেমি।
সমাধান:
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ($a$) = 21 সেমি।
আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভুজের অন্তর্ব্যাসার্ধ ($r$) $= \frac{a}{2\sqrt{3}}$
$\therefore r = \frac{21}{2\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{2}$ সেমি।
রঙিন জায়গার (অন্তর্বৃত্তের) ক্ষেত্রফল $= \pi r^2$
$= \frac{22}{7} \times \left(\frac{7\sqrt{3}}{2}\right)^2$
$= \frac{22}{7} \times \frac{49 \times 3}{4} = \frac{11 \times 7 \times 3}{2} = \frac{231}{2} = 115.5$ বর্গ সেমি।
সমাধান:
ধরি, পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ = $R$ সেমি।
বৃত্তের ক্ষেত্রফল $\pi R^2 = 462$
$\Rightarrow \frac{22}{7} R^2 = 462 \Rightarrow R^2 = \frac{462 \times 7}{22} = 21 \times 7 = 147$
$\Rightarrow R = \sqrt{147} = 7\sqrt{3}$ সেমি।
আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভুজের পরিব্যাসার্ধ $R = \frac{\text{বাহু}}{\sqrt{3}}$
$\therefore \text{বাহু} = R \times \sqrt{3} = 7\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 7 \times 3 = 21$ সেমি।
সমাধান:
ত্রিভুজটির পরিসীমা = 32 সেমি।
$\therefore$ অর্ধপরিসীমা ($s$) $= \frac{32}{2} = 16$ সেমি।
অন্তর্বৃত্তের ক্ষেত্রফল $= \pi r^2 = 38.5$
$\Rightarrow \frac{22}{7} r^2 = 38.5 \Rightarrow r^2 = \frac{38.5 \times 7}{22} = 12.25$
$\Rightarrow r = \sqrt{12.25} = 3.5$ সেমি।
আমরা জানি, যেকোনো ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $= r \times s$
$= 3.5 \times 16 = 56$ বর্গ সেমি।
সমাধান:
ত্রিভুজের বাহুগুলি: $a=15$, $b=20$, $c=25$ সেমি।
লক্ষ্য করি, $15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 = 25^2$। এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার অতিভুজ 25 সেমি।
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল ($\Delta$) $= \frac{1}{2} \times 15 \times 20 = 150$ বর্গ সেমি。
অর্ধপরিসীমা ($s$) $= \frac{15+20+25}{2} = 30$ সেমি。
অন্তর্বৃত্ত:
অন্তর্ব্যাসার্ধ ($r$) $= \frac{\Delta}{s} = \frac{150}{30} = 5$ সেমি。
অন্তর্বৃত্তের ক্ষেত্রফল $= \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 5^2 = \frac{550}{7} = 78\frac{4}{7}$ বর্গ সেমি。
পরিবৃত্ত:
সমকোণী ত্রিভুজের পরিব্যাসার্ধ ($R$) অতিভুজের অর্ধেক হয়।
$R = \frac{25}{2} = 12.5$ সেমি。
পরিবৃত্তের ক্ষেত্রফল $= \pi R^2 = \frac{22}{7} \times (12.5)^2 = \frac{22}{7} \times 156.25 = \frac{3437.5}{7} = 491\frac{1}{14}$ বর্গ সেমি。
সমাধান:
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ($a$) = $4\sqrt{3}$ সেমি।
সমবাহু ত্রিভুজের পরিব্যাসার্ধ ($R$) $= \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4$ সেমি।
এই বৃত্তটিই হলো বর্গক্ষেত্রের অন্তর্বৃত্ত।
$\therefore$ বর্গক্ষেত্রের অন্তর্ব্যাসার্ধ ($r$) = 4 সেমি।
আমরা জানি, বর্গক্ষেত্রের অন্তর্বৃত্তের ব্যাস তার বাহুর দৈর্ঘ্যের সমান হয়।
বর্গক্ষেত্রের বাহু $= 2r = 2 \times 4 = 8$ সেমি।
বর্গক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য $= \text{বাহু} \times \sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ সেমি।
সমাধান:
ধরি, তারটির মোট দৈর্ঘ্য $2L$ সেমি। সমান দুভাগে কাটার পর প্রতিটি অংশের দৈর্ঘ্য $L$ সেমি।
বর্গাকার অংশের পরিসীমা = $L$
$\Rightarrow$ বাহুর দৈর্ঘ্য $= \frac{L}{4}$। এর ক্ষেত্রফল $= \left(\frac{L}{4}\right)^2 = \frac{L^2}{16}$ বর্গ সেমি।
বৃত্তাকার অংশের পরিধি = $L$
$\Rightarrow 2\pi r = L \Rightarrow r = \frac{L}{2\pi}$। এর ক্ষেত্রফল $= \pi r^2 = \pi \left(\frac{L}{2\pi}\right)^2 = \frac{L^2}{4\pi}$ বর্গ সেমি।
শর্তানুসারে, বৃত্তের ক্ষেত্রফল বর্গক্ষেত্রের চেয়ে 33 বর্গ সেমি বেশি।
$\frac{L^2}{4\pi} - \frac{L^2}{16} = 33$
$\Rightarrow \frac{L^2}{4 \times \frac{22}{7}} - \frac{L^2}{16} = 33 \Rightarrow \frac{7L^2}{88} - \frac{L^2}{16} = 33$
$\Rightarrow L^2 \left( \frac{14 - 11}{176} \right) = 33 \Rightarrow L^2 \times \frac{3}{176} = 33$
$\Rightarrow L^2 = \frac{33 \times 176}{3} = 11 \times 176 = 1936$
$\Rightarrow L = \sqrt{1936} = 44$ সেমি।
তারটির মোট প্রকৃত দৈর্ঘ্য $= 2L = 2 \times 44 = 88$ সেমি।
$x = \pi r^2$, $y = 2\pi r$, $z = 2r$।
$\frac{x}{yz} = \frac{\pi r^2}{(2\pi r)(2r)} = \frac{\pi r^2}{4\pi r^2} = \frac{1}{4}$
সঠিক উত্তর: (b) $\frac{1}{4}$
বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r$। পরিলিখিত বর্গক্ষেত্রের বাহু $2r$, ক্ষেত্রফল $4r^2$।
অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের কর্ণ $2r$, বাহু $\sqrt{2}r$, ক্ষেত্রফল $2r^2$।
অনুপাত $= 4r^2 : 2r^2 = 2 : 1$।
সঠিক উত্তর: (c) 2 : 1
$2\pi r = \pi r^2 \Rightarrow r = 2$।
পরিলিখিত বর্গক্ষেত্রের বাহু $= 2r = 4$। কর্ণ $= \text{বাহু}\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ একক।
সঠিক উত্তর: (c) $4\sqrt{2}$ একক
পরিব্যাসার্ধ $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$, অন্তর্ব্যাসার্ধ $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$।
ক্ষেত্রফলের অনুপাত $= \pi R^2 : \pi r^2 = R^2 : r^2 = \frac{a^2}{3} : \frac{a^2}{12} = 4 : 1$।
সঠিক উত্তর: (a) 4 : 1
বহির্ব্যাসার্ধ $R = 11$ সেমি, অন্তর্ব্যাসার্ধ $r = 10$ সেমি।
ক্ষেত্রফল $= \pi(R^2 - r^2) = \frac{22}{7} (121 - 100) = \frac{22}{7} \times 21 = 66$ বর্গ সেমি।
সঠিক উত্তর: (c) 66 বর্গ সেমি.
ব্যাসার্ধ 10% বৃদ্ধি পেলে নতুন ব্যাসার্ধ $1.1r$।
নতুন ক্ষেত্রফল $= \pi(1.1r)^2 = 1.21\pi r^2$।
ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি $= 1.21 - 1 = 0.21$ অর্থাৎ $21\%$।
পরিসীমা 50% হ্রাস পাওয়া মানে ব্যাসার্ধও 50% হ্রাস পাওয়া। নতুন ব্যাসার্ধ $0.5r$।
নতুন ক্ষেত্রফল $= \pi(0.5r)^2 = 0.25\pi r^2$।
হ্রাস পেল $= 1 - 0.25 = 0.75$ অর্থাৎ $75\%$।
ধরি, নতুন ব্যাসার্ধ $R$। শর্তানুসারে, $\pi R^2 = x \cdot \pi r^2 \Rightarrow R^2 = x r^2 \Rightarrow R = r\sqrt{x}$।
এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যার অতিভুজ 5 সেমি।
পরিব্যাসার্ধ $R = \frac{5}{2} = 2.5$ সেমি।
ক্ষেত্রফল $= \pi R^2 = \frac{22}{7} \times 6.25 = \frac{137.5}{7} = 19\frac{9}{14}$ বর্গ সেমি।
সমবেধবিশিষ্ট পাতের ক্ষেত্রে ওজন তার ক্ষেত্রফলের সমানুপাতিক হয়।
ক্ষেত্রফলের অনুপাত ব্যাসের বর্গের অনুপাতের সমান হয়।
ওজনের অনুপাত $= 3^2 : 5^2 : 7^2 = 9 : 25 : 49$।
উপরে Class 9 Math Chapter 18 Koshe Dekhi 18 এর সমস্ত ২৭টি প্রশ্নের (MCQ ও সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসহ) ধাপে ধাপে সম্পূর্ণ সমাধান দেওয়া হয়েছে। এই অনুশীলনীর সাহায্যে শিক্ষার্থীরা বৃত্তের ক্ষেত্রফল (Area of Circle), বলয়ের ক্ষেত্রফল, বৃত্তকলা ও বৃত্তাংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের বাস্তব সমস্যা সমাধান করতে শিখবে। জ্যামিতিক ধারণাগুলো স্পষ্ট করার জন্য জটিল প্রশ্নের সাথে উচ্চ মানের ডিজিটাল চিত্র (SVG) দেওয়া হয়েছে।
