কষে দেখি 2 (Koshe Dekhi 2)

$= (8^{\frac{1}{5}})^{\frac{5}{2}} \times (2^4)^{-\frac{3}{2}}$

$= 8^{\frac{1}{5} \times \frac{5}{2}} \times 2^{4 \times -\frac{3}{2}}$

$= 8^{\frac{1}{2}} \times 2^{-6}$

$= (2^3)^{\frac{1}{2}} \times 2^{-6}$

$= 2^{\frac{3}{2}} \times 2^{-6}$

$= 2^{\frac{3}{2} - 6} = 2^{\frac{3 - 12}{2}}$

$= 2^{-\frac{9}{2}}$

$= \{(5^3)^{-2} \times (2^4)^{-\frac{3}{2}}\}^{-\frac{1}{6}}$

$= \{5^{-6} \times 2^{-6}\}^{-\frac{1}{6}}$

$= \{(5 \times 2)^{-6}\}^{-\frac{1}{6}}$

$= (10^{-6})^{-\frac{1}{6}}$

$= 10^{-6 \times -\frac{1}{6}}$

$= 10^1 = 10$

$= (2^2)^{\frac{1}{3}} \times 2^{\frac{1}{3}} \times 3^{\frac{1}{2}} \div (3^2)^{\frac{1}{4}}$

$= 2^{\frac{2}{3}} \times 2^{\frac{1}{3}} \times 3^{\frac{1}{2}} \div 3^{\frac{2}{4}}$

$= \left(2^{\frac{2}{3}} \times 2^{\frac{1}{3}}\right) \times \left(3^{\frac{1}{2}} \div 3^{\frac{1}{2}}\right)$

$= 2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \times 3^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}}$

$= 2^{\frac{3}{3}} \times 3^0$

$= 2^1 \times 1$

$= 2$

$= \left(\frac{2^3 a^3}{3^3 x^{-3}}\right)^{\frac{2}{3}} \times \left(\frac{4^3 a^3}{3^3 x^{-3}}\right)^{-\frac{2}{3}}$

$= \left(\frac{2a}{3x^{-1}}\right)^{3 \times \frac{2}{3}} \times \left(\frac{4a}{3x^{-1}}\right)^{3 \times -\frac{2}{3}}$

$= \left(\frac{2ax}{3}\right)^2 \times \left(\frac{4ax}{3}\right)^{-2}$

$= \frac{4a^2 x^2}{9} \times \left(\frac{3}{4ax}\right)^2$

$= \frac{4a^2 x^2}{9} \times \frac{9}{16a^2 x^2}$

$= \frac{1}{4}$

সূচকের নিয়মানুযায়ী পাওয়ার গুণ হবে:

$= x^{-5 \times \frac{2}{3} \times -\frac{3}{10}}$

$= x^{\frac{5 \times 2 \times 3}{3 \times 10}}$

$= x^{\frac{30}{30}}$

$= x^1 = x$

$= 2^{-1 \times -1 \times -1 \times -1}$

$= 2^1 = 2$

$= a^{-\frac{2}{3}} \cdot b \times b^{-\frac{2}{3}} \cdot c \times c^{-\frac{2}{3}} \cdot a$

$= (a^{-\frac{2}{3}} \cdot a^1) \times (b^{-\frac{2}{3}} \cdot b^1) \times (c^{-\frac{2}{3}} \cdot c^1)$

$= a^{1 - \frac{2}{3}} \cdot b^{1 - \frac{2}{3}} \cdot c^{1 - \frac{2}{3}}$

$= a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} c^{\frac{1}{3}}$

$= (abc)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{abc}$

$= \left(\frac{(2^2)^{m + \frac{1}{4}} \times (2^{m+1})^{\frac{1}{2}}}{2^1 \cdot 2^{-\frac{m}{2}}}\right)^{\frac{1}{m}}$

$= \left(\frac{2^{2m + \frac{1}{2}} \times 2^{\frac{m}{2} + \frac{1}{2}}}{2^{1 - \frac{m}{2}}}\right)^{\frac{1}{m}}$

লব ও হরের পাওয়ার যোগ-বিয়োগ করি:

$= \left(\frac{2^{2m + \frac{1}{2} + \frac{m}{2} + \frac{1}{2}}}{2^{1 - \frac{m}{2}}}\right)^{\frac{1}{m}}$

$= \left(\frac{2^{\frac{5m}{2} + 1}}{2^{1 - \frac{m}{2}}}\right)^{\frac{1}{m}}$

$= \left(2^{\left(\frac{5m}{2} + 1\right) - \left(1 - \frac{m}{2}\right)}\right)^{\frac{1}{m}}$

$= \left(2^{\frac{5m}{2} + 1 - 1 + \frac{m}{2}}\right)^{\frac{1}{m}} = \left(2^{\frac{6m}{2}}\right)^{\frac{1}{m}}$

$= (2^{3m})^{\frac{1}{m}} = 2^{3m \times \frac{1}{m}}$

$= 2^3 = 8$

$= (3^2)^{-3} \times \frac{(2^4)^{\frac{1}{4}}}{(2 \times 3)^{-2}} \times (3^{-3})^{-\frac{4}{3}}$

$= 3^{-6} \times \frac{2^1}{2^{-2} \times 3^{-2}} \times 3^4$

$= 3^{-6} \times (2^1 \cdot 2^2 \cdot 3^2) \times 3^4$

$= 3^{-6 + 2 + 4} \times 2^{1 + 2}$

$= 3^0 \times 2^3$

$= 1 \times 8 = 8$

$= (x^{a-b})^{a^2 + ab + b^2} \times (x^{b-c})^{b^2 + bc + c^2} \times (x^{c-a})^{c^2 + ca + a^2}$

আমরা জানি, $(x-y)(x^2+xy+y^2) = x^3 - y^3$। এই সূত্র প্রয়োগ করে পাই:

$= x^{a^3 - b^3} \times x^{b^3 - c^3} \times x^{c^3 - a^3}$

$= x^{(a^3 - b^3) + (b^3 - c^3) + (c^3 - a^3)}$

$= x^0$

$= 1$

পাওয়ারের হরগুলির (2, 4, 3) ল.সা.গু. = 12

প্রত্যেকটি পাওয়ারকে 12 এর হরে প্রকাশ করি:

$5^{\frac{1}{2}} = 5^{\frac{6}{12}} = (5^6)^{\frac{1}{12}} = (15625)^{\frac{1}{12}}$

$10^{\frac{1}{4}} = 10^{\frac{3}{12}} = (10^3)^{\frac{1}{12}} = (1000)^{\frac{1}{12}}$

$6^{\frac{1}{3}} = 6^{\frac{4}{12}} = (6^4)^{\frac{1}{12}} = (1296)^{\frac{1}{12}}$

যেহেতু $1000 < 1296 < 15625$

পাওয়ারের হরগুলির (3, 2, 4) ল.সা.গু. = 12

$3^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{4}{12}} = (3^4)^{\frac{1}{12}} = (81)^{\frac{1}{12}}$

$2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{6}{12}} = (2^6)^{\frac{1}{12}} = (64)^{\frac{1}{12}}$

$8^{\frac{1}{4}} = 8^{\frac{3}{12}} = (8^3)^{\frac{1}{12}} = (512)^{\frac{1}{12}}$

যেহেতু $64 < 81 < 512$

পাওয়ারগুলির (60, 48, 36, 24) গ.সা.গু. = 12

প্রত্যেকটি পাওয়ারকে 12 এর গুণিতক আকারে প্রকাশ করি:

$2^{60} = 2^{5 \times 12} = (2^5)^{12} = 32^{12}$

$3^{48} = 3^{4 \times 12} = (3^4)^{12} = 81^{12}$

$4^{36} = 4^{3 \times 12} = (4^3)^{12} = 64^{12}$

$5^{24} = 5^{2 \times 12} = (5^2)^{12} = 25^{12}$

যেহেতু $25 < 32 < 64 < 81$, অর্থাৎ $25^{12} < 32^{12} < 64^{12} < 81^{12}$

LHS $= (a^{q-r})^p \times (a^{r-p})^q \times (a^{p-q})^r$

$= a^{pq - pr} \times a^{rq - pq} \times a^{pr - qr}$

$= a^{(pq - pr) + (rq - pq) + (pr - qr)}$

$= a^0$

$= 1 =$ RHS (প্রমাণিত)

LHS $= (x^{m-n})^{m+n} \times (x^{n-l})^{n+l} \times (x^{l-m})^{l+m}$

$(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ সূত্র প্রয়োগ করে পাই:

$= x^{m^2 - n^2} \times x^{n^2 - l^2} \times x^{l^2 - m^2}$

$= x^{(m^2 - n^2) + (n^2 - l^2) + (l^2 - m^2)}$

$= x^0$

$= 1 =$ RHS (প্রমাণিত)

LHS $= (x^{m-n})^{m+n-l} \times (x^{n-l})^{n+l-m} \times (x^{l-m})^{l+m-n}$

$= x^{(m-n)(m+n-l)} \times x^{(n-l)(n+l-m)} \times x^{(l-m)(l+m-n)}$

পাওয়ারগুলিকে গুণ করে যোগ করি:

১ম পদ: $(m-n)(m+n-l) = m^2 + mn - ml - mn - n^2 + nl = m^2 - n^2 - ml + nl$

২য় পদ: $(n-l)(n+l-m) = n^2 + nl - nm - ln - l^2 + lm = n^2 - l^2 - nm + lm$

৩য় পদ: $(l-m)(l+m-n) = l^2 + lm - ln - ml - m^2 + mn = l^2 - m^2 - ln + mn$

সব পাওয়ারের যোগফল: $(m^2 - n^2 - ml + nl) + (n^2 - l^2 - nm + lm) + (l^2 - m^2 - ln + mn) = 0$

$= x^0$

$= 1 =$ RHS (প্রমাণিত)

LHS $= a^{\frac{1}{(x-y)(x-z)}} \times a^{\frac{1}{(y-z)(y-x)}} \times a^{\frac{1}{(z-x)(z-y)}}$

হরের রাশিগুলিকে চক্রাকারে (cyclic order) সাজিয়ে পাই:

$= a^{\frac{-1}{(x-y)(z-x)}} \times a^{\frac{-1}{(y-z)(x-y)}} \times a^{\frac{-1}{(z-x)(y-z)}}$

$= a^{- \left[ \frac{1}{(x-y)(z-x)} + \frac{1}{(y-z)(x-y)} + \frac{1}{(z-x)(y-z)} \right]}$

ল.সা.গু. হলো $(x-y)(y-z)(z-x)$

$= a^{- \left[ \frac{(y-z) + (z-x) + (x-y)}{(x-y)(y-z)(z-x)} \right]}$

লব $= y - z + z - x + x - y = 0$

$= a^{- \frac{0}{(x-y)(y-z)(z-x)}} = a^0$

$= 1 =$ RHS (প্রমাণিত)

$= \left(\frac{243}{1000}\right)^{\frac{2}{10}} \times 10^{\frac{6}{10}}$

$= \left(\frac{3^5}{10^3}\right)^{\frac{1}{5}} \times 10^{\frac{3}{5}}$

$= \frac{3^1}{10^{\frac{3}{5}}} \times 10^{\frac{3}{5}} = 3$

সঠিক উত্তর: (b) 3

$= 2^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}} \times \sqrt{16}$

$= 2^0 \times 4 = 1 \times 4 = 4$

সঠিক উত্তর: (c) 4

$(2^2)^x = (2^3)^3 \Rightarrow 2^{2x} = 2^9$

$\Rightarrow 2x = 9 \Rightarrow x = \frac{9}{2}$

সঠিক উত্তর: (b) $\frac{9}{2}$

$\Rightarrow \frac{1}{20^x} = \frac{1}{7} \Rightarrow 20^x = 7$

$(20)^{2x} = (20^x)^2 = 7^2 = 49$

সঠিক উত্তর: (c) 49

$\Rightarrow 5^x = \frac{500}{4} = 125$

$\Rightarrow 5^x = 5^3 \Rightarrow x = 3$

সুতরাং, $x^x = 3^3 = 27$

সঠিক উত্তর: (d) 27

$\Rightarrow (3^3)^x = (3^4)^y$

$\Rightarrow 3^{3x} = 3^{4y}$

$\Rightarrow 3x = 4y$

$\Rightarrow \frac{x}{y} = \frac{4}{3}$

বীজগণিতের $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$ সূত্র অনুযায়ী:

$\Rightarrow 4 \times 5^5 \times 0.01 = 5^x$

$\Rightarrow 4 \times 5^5 \times \frac{1}{100} = 5^x$

$\Rightarrow 5^5 \times \frac{4}{100} = 5^x$

$\Rightarrow 5^5 \times \frac{1}{25} = 5^x$

$\Rightarrow \frac{5^5}{5^2} = 5^x$

$\Rightarrow 5^3 = 5^x$

$\Rightarrow 3^1 \times (3^3)^x = (3^2)^{x+4}$

$\Rightarrow 3^1 \times 3^{3x} = 3^{2x+8}$

$\Rightarrow 3^{1+3x} = 3^{2x+8}$

$\Rightarrow 1 + 3x = 2x + 8$

$\Rightarrow 3x - 2x = 8 - 1$

$= \left(\left(\frac{1}{64}\right)^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{3}}$

$= \left(\frac{1}{64}\right)^{\frac{1}{6}}$

$= \left(\left(\frac{1}{2}\right)^6\right)^{\frac{1}{6}}$

$= \left(\frac{1}{2}\right)^{6 \times \frac{1}{6}}$

প্রথম রাশি: $3^{3^3} = 3^{27}$

দ্বিতীয় রাশি: $(3^3)^3 = 3^{3 \times 3} = 3^9$

যেহেতু পাওয়ার $27 > 9$, তাই $3^{27} > 3^9$