কষে দেখি 6 (Koshe Dekhi 6)

• $45^\circ, 45^\circ$: সমষ্টি $= 90^\circ$। $\therefore$ এরা পরস্পর পূরক কোণ।
• $120^\circ, 30^\circ$: সমষ্টি $= 150^\circ$। $\therefore$ এরা পূরক বা সম্পূরক কোনোটিই নয়।
• $70^\circ, 110^\circ$: সমষ্টি $= 180^\circ$। $\therefore$ এরা পরস্পর সম্পূরক কোণ।
• $42^\circ, 48^\circ$: সমষ্টি $= 90^\circ$। $\therefore$ এরা পরস্পর পূরক কোণ।
• $37^\circ, 43^\circ$: সমষ্টি $= 80^\circ$। $\therefore$ এরা পূরক বা সম্পূরক কোনোটিই নয়।
• $85^\circ, 95^\circ$: সমষ্টি $= 180^\circ$। $\therefore$ এরা পরস্পর সম্পূরক কোণ।

যে দুটি কোণের যোগফল $90^\circ$, তারাই পরস্পর পূরক কোণ।

• $31^\circ + 59^\circ = 90^\circ$   $\Rightarrow$ $31^\circ$ এবং $59^\circ$ পরস্পর পূরক।
• $47^\circ + 43^\circ = 90^\circ$   $\Rightarrow$ $47^\circ$ এবং $43^\circ$ পরস্পর পূরক।
• $64^\circ + 26^\circ = 90^\circ$   $\Rightarrow$ $64^\circ$ এবং $26^\circ$ পরস্পর পূরক।

($29^\circ$ ও $17^\circ$ এর জন্য যথাক্রমে $61^\circ$ ও $73^\circ$ প্রয়োজন, যা তালিকায় নেই।)

যে দুটি কোণের যোগফল $180^\circ$, তারাই পরস্পর সম্পূরক কোণ।

• $47^\circ + 133^\circ = 180^\circ$   $\Rightarrow$ $47^\circ$ এবং $133^\circ$ পরস্পর সম্পূরক।
• $58^\circ + 122^\circ = 180^\circ$   $\Rightarrow$ $58^\circ$ এবং $122^\circ$ পরস্পর সম্পূরক।
• $75^\circ + 105^\circ = 180^\circ$   $\Rightarrow$ $75^\circ$ এবং $105^\circ$ পরস্পর সম্পূরক।

ছবিগুলি বিশ্লেষণ করে পাই:

পদ্ধতি: প্রথমে খাতায় একটি সরলরেখা টেনে নিতে হবে। এরপর চাঁদার সাহায্যে প্রথম কোণটি (যেমন $35^\circ$) আঁকতে হবে। তারপর সেই কোণের সাধারণ বাহুটির ওপর চাঁদা বসিয়ে পরের কোণটি (যেমন $45^\circ$) আঁকতে হবে। এভাবে প্রতিটি জোড়া সন্নিহিত কোণ খাতায় নিজে এঁকে নিতে হবে।

যেহেতু P বিন্দুটি একটি সরলরেখা AB এর ওপর অবস্থিত এবং PQ একটি রশ্মি, তাই উৎপন্ন সন্নিহিত কোণ দুটি একটি রৈখিক যুগল (Linear Pair) গঠন করে।

আমরা জানি, সরলরেখার ওপর কোনো বিন্দুতে উৎপন্ন কোণ $180^\circ$ বা 2 সমকোণ হয়।

$\therefore$ চাঁদার সাহায্যে মেপে দেখলে সবসময়েই পাওয়া যাবে:

$\angle APQ + \angle BPQ = 180^\circ$

দুটি সন্নিহিত কোণ $\angle ABC$ এবং $\angle ABD$ এর সাধারণ বাহু হলো AB এবং সাধারণ শীর্ষবিন্দু হলো B।

যেহেতু কোণ দুটির সমষ্টি $180^\circ$ (বা 2 সমকোণ), তাই তাদের বহিঃস্থ বাহু দুটি অর্থাৎ BC এবং BD পরস্পর বিপরীত দিকে অবস্থান করবে এবং একটি সরলরেখা গঠন করবে।

চিত্র থেকে দেখা যাচ্ছে, A, O, B একই সরলরেখায় অবস্থিত। তাই O বিন্দুতে উৎপন্ন সন্নিহিত কোণ তিনটির সমষ্টি $180^\circ$ (বা এক সরলকোণ) হবে।

শর্তানুসারে,

$\angle AOD + \angle DOC + \angle COB = 180^\circ$

$\Rightarrow 3x^\circ + 80^\circ + x^\circ = 180^\circ$

$\Rightarrow 4x + 80 = 180$

$\Rightarrow 4x = 180 - 80$

$\Rightarrow 4x = 100$

$\Rightarrow x = \frac{100}{4}$

$\Rightarrow x = 25$

যেহেতু A, O, B বিন্দু তিনটি একই সরলরেখায় অবস্থিত, তাই সন্নিহিত কোণ দুটির সমষ্টি $180^\circ$।

$\therefore \angle AOP + \angle BOP = 180^\circ$ ---- (সমীকরণ ১)

দেওয়া আছে, $\angle AOP$, $\angle BOP$ এর চেয়ে $140^\circ$ বেশি।

$\therefore \angle AOP = \angle BOP + 140^\circ$ ---- (সমীকরণ ২)

সমীকরণ ২ এর মান সমীকরণ ১ এ বসিয়ে পাই:

$(\angle BOP + 140^\circ) + \angle BOP = 180^\circ$

$\Rightarrow 2\angle BOP + 140^\circ = 180^\circ$

$\Rightarrow 2\angle BOP = 180^\circ - 140^\circ$

$\Rightarrow 2\angle BOP = 40^\circ$

$\Rightarrow \angle BOP = \frac{40^\circ}{2} = 20^\circ$

এখন $\angle AOP$ এর মান নির্ণয় করি:

$\angle AOP = \angle BOP + 140^\circ = 20^\circ + 140^\circ = 160^\circ$

প্রদত্ত সন্নিহিত কোণ দুটির সমষ্টি নির্ণয় করি:

সমষ্টি $= 35^\circ + 145^\circ = 180^\circ$

যেহেতু কোণ দুটির সমষ্টি $180^\circ$ (2 সমকোণ), তাই সন্নিহিত কোণ দুটি পরস্পর সম্পূরক।

প্রদত্ত ছবি থেকে, OA থেকে OE পর্যন্ত উৎপন্ন পরপর সন্নিহিত কোণগুলির সমষ্টি নির্ণয় করি:

মোট কোণ $= \angle AOB + \angle BOC + \angle COD + \angle DOE$

$= 20^\circ + 55^\circ + 81^\circ + 24^\circ$

$= 180^\circ$

যেহেতু কোণগুলির মোট সমষ্টি $180^\circ$ (বা 2 সমকোণ), তাই বহিঃস্থ বাহু দুটি একটি সরলরেখা গঠন করেছে।