কষে দেখি 3 (Koshe Dekhi 3)

পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদের অষ্টম শ্রেণির গণিত প্রভা বইয়ের অধ্যায় ৩ (মূলদ সংখ্যার ধারণা) এর 'কষে দেখি ৩' এর সম্পূর্ণ সমাধান।

Hisamuddin Sk
Hisamuddin Sk
Uploaded: 28 January 2026 Last Update: 31 May 2026
1. নীচের সমীকরণগুলি সমাধান করি ও বীজগুলি $\frac{p}{q}$ ($q \neq 0$) যেখানে $p,q$ পূর্ণসংখ্যা আকারে প্রকাশ করি।

(a) $7x = 14$    (b) $4p + 32 = 0$    (c) $11x = 0$    (d) $5m - 3 = 0$    (e) $9y + 18 = 0$    (f) $t = 8 - 12t$    (g) $6y = 5 + y$    (h) $2x + \Box = \Box$ [নিজে মূলদ সংখ্যা বসাই]
(a) $7x = 14$

$\Rightarrow x = \frac{14}{7}$

$\Rightarrow x = 2$

$\frac{p}{q}$ আকার: $x = \frac{2}{1}$

(b) $4p + 32 = 0$

$\Rightarrow 4p = -32$

$\Rightarrow p = -\frac{32}{4}$

$\Rightarrow p = -8$

$\frac{p}{q}$ আকার: $p = \frac{-8}{1}$

(c) $11x = 0$

$\Rightarrow x = \frac{0}{11}$

$\Rightarrow x = 0$

$\frac{p}{q}$ আকার: $x = \frac{0}{1}$

(d) $5m - 3 = 0$

$\Rightarrow 5m = 3$

$\Rightarrow m = \frac{3}{5}$

$\frac{p}{q}$ আকার: $m = \frac{3}{5}$

(e) $9y + 18 = 0$

$\Rightarrow 9y = -18$

$\Rightarrow y = -\frac{18}{9} = -2$

$\frac{p}{q}$ আকার: $y = \frac{-2}{1}$

(f) $t = 8 - 12t$

$\Rightarrow t + 12t = 8$

$\Rightarrow 13t = 8$

$\Rightarrow t = \frac{8}{13}$

$\frac{p}{q}$ আকার: $t = \frac{8}{13}$

(g) $6y = 5 + y$

$\Rightarrow 6y - y = 5$

$\Rightarrow 5y = 5$

$\Rightarrow y = \frac{5}{5} = 1$

$\frac{p}{q}$ আকার: $y = \frac{1}{1}$

(h) $2x + \Box = \Box$ [নিজে সংখ্যা বসাই]

ধরি, সমীকরণটি হলো $2x + 5 = 11$

$\Rightarrow 2x = 11 - 5$

$\Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3$

$\frac{p}{q}$ আকার: $x = \frac{3}{1}$

2. $y = -\frac{5}{4}$ হলে, $-(-y) = y$ যাচাই করি।

দেওয়া আছে, $y = -\frac{5}{4}$

বামপক্ষ (L.H.S) $= -(-y)$

$= -\left(-\left(-\frac{5}{4}\right)\right)$

$= -\left(\frac{5}{4}\right)$ [যেহেতু $(- \times -) = +$]

$= -\frac{5}{4}$

ডানপক্ষ (R.H.S) $= y = -\frac{5}{4}$

যেহেতু বামপক্ষ = ডানপক্ষ, তাই $-(-y) = y$ যাচাই করা হলো (প্রমাণিত)।
3. $x = -\frac{3}{8}$ হলে, মান খুঁজি :

(a) $2x + 5$      (b) $x + \frac{3}{8}$      (c) $5 - (-x)$      (d) $\Box - (-x)$ [নিজে মূলদ সংখ্যা বসাই]
(a) $2x + 5$

মান বসিয়ে পাই:

$= 2 \left( -\frac{3}{8} \right) + 5$

$= -\frac{6}{8} + 5 = -\frac{3}{4} + 5$

$= \frac{-3 + 20}{4}$

$= \mathbf{\frac{17}{4} = 4\frac{1}{4}}$

(c) $5 - (-x)$

মান বসিয়ে পাই:

$= 5 - \left( -\left( -\frac{3}{8} \right) \right)$

$= 5 - \left( \frac{3}{8} \right)$

$= \frac{40 - 3}{8}$

$= \mathbf{\frac{37}{8} = 4\frac{5}{8}}$

(b) $x + \frac{3}{8}$

মান বসিয়ে পাই:

$= -\frac{3}{8} + \frac{3}{8}$

$= \mathbf{0}$

(d) $\Box - (-x)$

ধরি, ফাঁকা ঘরে $\frac{1}{2}$ বসালাম। তাহলে রাশিটি হবে $\frac{1}{2} - (-x)$

মান বসিয়ে পাই:

$= \frac{1}{2} - \left( -\left( -\frac{3}{8} \right) \right)$

$= \frac{1}{2} - \frac{3}{8} = \frac{4 - 3}{8}$

$= \mathbf{\frac{1}{8}}$

4. নীচের ফাঁকা ঘরে বুঝে সংখ্যা লিখি :

(a) $\frac{9}{11} + \left[ \mathbf{-\frac{9}{11}} \right] = 0$

(b) $\left[ \mathbf{\frac{21}{29}} \right] + \left( -\frac{21}{29} \right) = 0$

(c) $\frac{7}{19} \times \left[ \mathbf{\frac{19}{7}} \right] = 1$

(d) $-5 \times \left[ \mathbf{-\frac{1}{5}} \right] = 1$

(e) $-\frac{15}{23} \times \left[ \mathbf{-\frac{23}{15}} \right] = 1$

(f) $\left( -\frac{8}{3} \right) \times \left( -\frac{21}{20} \right) = \left[ \mathbf{\frac{14}{5}} \right]$

(f)-এর রাফ: $\left(-\frac{8}{3}\right) \times \left(-\frac{21}{20}\right) = \frac{8 \times 21}{3 \times 20} = \frac{2 \times 7}{1 \times 5} = \frac{14}{5}$

5. $\frac{7}{18}$ -কে $\left( -\frac{5}{6} \right)$ -এর অন্যোন্যক দিয়ে গুণ করে গুণফল লিখি।

$\left( -\frac{5}{6} \right)$-এর অন্যোন্যক বা গুণাত্মক বিপরীত হলো $\mathbf{-\frac{6}{5}}$।

এখন, এদের গুণফল নির্ণয় করি:

$= \frac{7}{18} \times \left( -\frac{6}{5} \right)$

$= -\frac{7 \times 6}{18 \times 5}$

$= -\frac{7}{3 \times 5}$ (৬ দিয়ে ১৮ কে কেটে ৩ হলো)

$= -\frac{7}{15}$

উত্তর: নির্ণেয় গুণফল $-\frac{7}{15}$।
6. বিনিময় ও সংযোগ নিয়মের সাহায্যে মান খুঁজি :

(i) $\frac{5}{8} + \left( -\frac{7}{15} \right) + \left( \frac{3}{32} \right) + \frac{11}{75}$
(ii) $\frac{8}{121} \times \frac{35}{169} \times \frac{55}{36} \times \frac{78}{49}$
(i) $\frac{5}{8} + \left( -\frac{7}{15} \right) + \left( \frac{3}{32} \right) + \frac{11}{75}$

বিনিময় নিয়ম প্রয়োগ করে সাজিয়ে পাই:

$= \frac{5}{8} + \frac{3}{32} - \frac{7}{15} + \frac{11}{75}$

সংযোগ নিয়ম প্রয়োগ করে পাই:

$= \left( \frac{5}{8} + \frac{3}{32} \right) + \left( -\frac{7}{15} + \frac{11}{75} \right)$

এখন ল.সা.গু করে যোগ করি:

$= \left( \frac{5 \times 4 + 3}{32} \right) + \left( \frac{-7 \times 5 + 11}{75} \right)$

$= \left( \frac{20 + 3}{32} \right) + \left( \frac{-35 + 11}{75} \right)$

$= \frac{23}{32} + \left( -\frac{24}{75} \right)$

$= \frac{23}{32} - \frac{8}{25}$ ($\frac{24}{75}$ কে ৩ দিয়ে কাটাকুটি করে)

$= \frac{23 \times 25 - 8 \times 32}{800}$ (৩২ ও ২৫ এর ল.সা.গু ৮০০)

$= \frac{575 - 256}{800}$

$= \mathbf{\frac{319}{800}}$

(ii) $\frac{8}{121} \times \frac{35}{169} \times \frac{55}{36} \times \frac{78}{49}$

বিনিময় নিয়ম প্রয়োগ করে সাজিয়ে পাই:

$= \frac{8}{121} \times \frac{55}{36} \times \frac{35}{169} \times \frac{78}{49}$

সংযোগ নিয়ম প্রয়োগ করে পাই:

$= \left( \frac{8}{121} \times \frac{55}{36} \right) \times \left( \frac{35}{169} \times \frac{78}{49} \right)$

কাটাকুটি করে পাই:

১ম বন্ধনী: $\frac{8 \times 55}{121 \times 36} = \frac{4 \times 2 \times 5 \times 11}{11 \times 11 \times 4 \times 9} = \frac{2 \times 5}{11 \times 9} = \mathbf{\frac{10}{99}}$

২য় বন্ধনী: $\frac{35 \times 78}{169 \times 49} = \frac{7 \times 5 \times 13 \times 6}{13 \times 13 \times 7 \times 7} = \frac{5 \times 6}{13 \times 7} = \mathbf{\frac{30}{91}}$

অতএব,

$= \frac{10}{99} \times \frac{30}{91} = \frac{10 \times 30}{99 \times 91}$

$= \frac{10 \times 10}{33 \times 91}$ (উপর নিচে ৩ দিয়ে কেটে)

$= \mathbf{\frac{100}{3003}}$

7. সংখ্যারেখায় মূলদ সংখ্যাগুলি বসাই : $\frac{1}{4}, -\frac{3}{4}, -\frac{2}{3}, \frac{6}{5}, -\frac{8}{3}$

মূলদ সংখ্যাগুলিকে সহজে সংখ্যারেখায় বসানোর জন্য তাদের দশমিক মান বা পূর্ণসংখ্যা ও ভগ্নাংশে ভেঙে নেওয়া সুবিধাজনক:

  • $\frac{1}{4} = 0.25$ (0 এবং 1 এর মধ্যে)
  • $-\frac{3}{4} = -0.75$ (-1 এবং 0 এর মধ্যে)
  • $-\frac{2}{3} \approx -0.66$ (-1 এবং 0 এর মধ্যে, $-\frac{3}{4}$ এর ডানদিকে)
  • $\frac{6}{5} = 1\frac{1}{5} = 1.2$ (1 এবং 2 এর মধ্যে)
  • $-\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3} \approx -2.66$ (-3 এবং -2 এর মধ্যে)

সংখ্যারেখায় উপস্থাপন:

-3 -2 -1 0 1 2 -8/3 -3/4 -2/3 1/4 6/5
8. 4টি মূলদ সংখ্যা লিখি যারা 1-এর থেকে বড়ো কিন্তু 2-এর থেকে ছোটো।

1-এর থেকে বড়ো কিন্তু 2-এর থেকে ছোটো যেকোনো মূলদ সংখ্যা নেওয়া যেতে পারে।

আমরা সুবিধার্থে দশমিক সংখ্যা নিতে পারি, যেমন: 1.2, 1.4, 1.6, 1.8

এবার এগুলিকে ভগ্নাংশ বা $\frac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করি:

  • $1.2 = \frac{12}{10} = \mathbf{\frac{6}{5}}$
  • $1.4 = \frac{14}{10} = \mathbf{\frac{7}{5}}$
  • $1.6 = \frac{16}{10} = \mathbf{\frac{8}{5}}$
  • $1.8 = \frac{18}{10} = \mathbf{\frac{9}{5}}$
উত্তর: নির্ণেয় 4টি মূলদ সংখ্যা হলো: $\frac{6}{5}, \frac{7}{5}, \frac{8}{5}, \frac{9}{5}$। (অন্য যেকোনো সঠিক উত্তরও গ্রাহ্য হবে)
9. $-\frac{3}{5}$ ও $\frac{1}{2}$ -এর মধ্যে 10 টি মূলদ সংখ্যা খুঁজি।

প্রথমে সংখ্যাদুটির হর সমান করে নিই। 5 এবং 2-এর ল.সা.গু হলো 10।

$\therefore -\frac{3}{5} = \frac{-3 \times 2}{5 \times 2} = \mathbf{-\frac{6}{10}}$

এবং, $\frac{1}{2} = \frac{1 \times 5}{2 \times 5} = \mathbf{\frac{5}{10}}$

এখন, $-\frac{6}{10}$ এবং $\frac{5}{10}$ এর মাঝখানে ঠিক 10 টি মূলদ সংখ্যা সহজেই পাওয়া যাবে (কারণ লব -6 থেকে 5 পর্যন্ত অনেকগুলো পূর্ণসংখ্যা আছে)।

সংখ্যাগুলি হলো:

$-\frac{5}{10}, -\frac{4}{10}, -\frac{3}{10}, -\frac{2}{10}, -\frac{1}{10}, 0, \frac{1}{10}, \frac{2}{10}, \frac{3}{10}, \frac{4}{10}$

এগুলিকে কাটাকুটি করে সরল আকারে লিখলে পাওয়া যায়: $-\frac{1}{2}, -\frac{2}{5}, -\frac{3}{10}, -\frac{1}{5}, -\frac{1}{10}, 0, \frac{1}{10}, \frac{1}{5}, \frac{3}{10}, \frac{2}{5}$।
10. নীচের মূলদ সংখ্যাদুটির মধ্যে পাঁচটি করে মূলদ সংখ্যা লিখি :

(a) $\frac{1}{3}$ ও $\frac{3}{5}$      (b) $\frac{1}{4}$ ও $\frac{1}{2}$      (c) $-\frac{4}{3}$ ও $\frac{3}{7}$
(a) $\frac{1}{3}$ ও $\frac{3}{5}$ এর মধ্যে 5টি সংখ্যা:

হরগুলির ল.সা.গু = 15। হর সমান করে পাই:

$\frac{1}{3} = \frac{5}{15}$ এবং $\frac{3}{5} = \frac{9}{15}$

$\frac{5}{15}$ এবং $\frac{9}{15}$ এর মাঝে মাত্র 3টি সংখ্যা আছে ($\frac{6}{15}, \frac{7}{15}, \frac{8}{15}$)। তাই লব ও হরকে আরও 2 দিয়ে গুণ করি:

$\frac{5}{15} = \frac{10}{30}$ এবং $\frac{9}{15} = \frac{18}{30}$

নির্ণেয় 5টি সংখ্যা: $\mathbf{\frac{11}{30}, \frac{12}{30}, \frac{13}{30}, \frac{14}{30}, \frac{15}{30}}$

(b) $\frac{1}{4}$ ও $\frac{1}{2}$ এর মধ্যে 5টি সংখ্যা:

হরগুলির ল.সা.গু = 4। হর সমান করে পাই:

$\frac{1}{4} = \frac{1}{4}$ এবং $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$

মাঝখানে আরও সংখ্যা পাওয়ার জন্য লব ও হরকে 6 দিয়ে গুণ করি:

$\frac{1 \times 6}{4 \times 6} = \frac{6}{24}$ এবং $\frac{2 \times 6}{4 \times 6} = \frac{12}{24}$

নির্ণেয় 5টি সংখ্যা: $\mathbf{\frac{7}{24}, \frac{8}{24}, \frac{9}{24}, \frac{10}{24}, \frac{11}{24}}$

(c) $-\frac{4}{3}$ ও $\frac{3}{7}$ এর মধ্যে 5টি সংখ্যা:

হরগুলির ল.সা.গু = 21। হর সমান করে পাই:

$-\frac{4}{3} = \frac{-28}{21}$ এবং $\frac{3}{7} = \frac{9}{21}$

$-28$ থেকে $+9$ এর মধ্যে অনেক সংখ্যা আছে। আমরা যে কোনো 5টি নিতে পারি।

নির্ণেয় 5টি সংখ্যা: $\mathbf{-\frac{20}{21}, -\frac{10}{21}, 0, \frac{1}{21}, \frac{5}{21}}$

অধ্যায় ৩ এর অন্যান্য অনুশীলনী

কষে দেখি 3 নিজে করি 3.1 নিজে করি 3.2
« পূর্ববর্তী (নিজে করি 3.2) অধ্যায় সূচিপত্র »

অষ্টম শ্রেণির গণিত সমাধান (কষে দেখি ৩)

উপরে Class 8 Math Chapter 3 Koshe Dekhi 3 এর সমস্ত প্রশ্নের ধাপে ধাপে সমাধান দেওয়া হয়েছে। এই অনুশীলনীর মূল উদ্দেশ্য হলো মূলদ সংখ্যা (Rational Numbers) সম্পর্কে বিশদ জ্ঞান লাভ করা। সমীকরণ সমাধান করে বীজগুলিকে $\frac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা, বিনিময় ও সংযোগ নিয়মের সাহায্যে সরল করা, এবং দুটি ভগ্নাংশের মাঝখানে সমতুল্য ভগ্নাংশ গঠন করে একাধিক মূলদ সংখ্যা নির্ণয়ের পদ্ধতি এখানে অত্যন্ত সহজভাবে ব্যাখ্যা করা হয়েছে। পাশাপাশি মূলদ সংখ্যাগুলিকে সংখ্যারেখায় (Number Line) বসানোর জন্যও একটি সুন্দর গ্রাফিকাল চিত্রের সাহায্য নেওয়া হয়েছে।

Sponsored Links

FAQs: Class 8 Math Koshe Dekhi 3

To find rational numbers between two fractions, first find the LCM (ল.সা.গু) of their denominators to make them equal. If there still aren't enough numbers between their numerators, multiply both the numerator and denominator by a common integer (like 2, 5, or 10) to expand the gap.

The p/q form indicates that a rational number can be written as a fraction where 'p' is the numerator (লব) and 'q' is the denominator (হর). Both p and q must be integers (পূর্ণসংখ্যা), and importantly, q cannot be equal to zero (q ≠ 0).

To plot an improper fraction like 6/5, first convert it into a mixed number or decimal. 6/5 is equal to 1.2, which means it lies between 1 and 2 on the number line, slightly to the right of 1.