পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদের সপ্তম শ্রেণির গণিত প্রভা বইয়ের অধ্যায় ৭ (কম্পাসের সাহায্যে নির্দিষ্ট কোণ অঙ্কন) এর 'কষে দেখি ৭' (পৃষ্ঠা ১১৬) এর সম্পূর্ণ সমাধান।
1. কাগজ ভাঁজ করে হাতেকলমে $15^\circ$, $22\frac{1}{2}^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$ কোণ তৈরি করি।
[এটি একটি হাতেকলমে করার কাজ (Practical Activity)। নিচে পদ্ধতিগুলি আলোচনা করা হলো।]
$90^\circ$ কোণ তৈরি: একটি আয়তাকার কাগজকে মাঝবরাবর ভাঁজ করলে যে সরলরেখা পাওয়া যায় তা $180^\circ$ নির্দেশ করে। এবার ভাঁজ করা অংশটিকে আবার সমান দুভাগে ভাঁজ করলে $90^\circ$ কোণ তৈরি হবে।
$45^\circ$ কোণ তৈরি: $90^\circ$ কোণ তৈরি করার পর, সেই কোণের শীর্ষবিন্দু ঠিক রেখে প্রান্ত দুটিকে মিলিয়ে আরও একবার ভাঁজ করলে $90^\circ$-এর অর্ধেক অর্থাৎ $45^\circ$ কোণ পাওয়া যাবে।
$22\frac{1}{2}^\circ$ কোণ তৈরি: $45^\circ$ কোণ নির্দেশক ভাঁজটিকে পুনরায় সমান দুভাগে ভাঁজ করলে $22.5^\circ$ বা $22\frac{1}{2}^\circ$ কোণ তৈরি হবে।
$60^\circ$ কোণ তৈরি: কাগজের একটি সরল প্রান্তের কোনো বিন্দু থেকে ভাঁজ করে এমন একটি সমবাহু ত্রিভুজের আকার দেওয়ার চেষ্টা করতে হবে যার প্রতিটি কোণ $60^\circ$ হয়।
$15^\circ$ কোণ তৈরি: $60^\circ$ কোণকে প্রথমে সমান দুভাগে ভাঁজ করে $30^\circ$ এবং সেই $30^\circ$ কোণকে আবার সমান দুভাগে ভাঁজ করে $15^\circ$ কোণ তৈরি করা যায়।
2. স্কেল, পেনসিল ও কম্পাসের সাহায্যে AB সরলরেখার উপর A বিন্দুতে $90^\circ$ কোণ আঁকি। সেখান থেকে $120^\circ$, $75^\circ$ ও $60^\circ$ কোণ আঁকি।
অঙ্কন পদ্ধতি:
প্রথমে স্কেলের সাহায্যে একটি সরলরেখাংশ AB আঁকলাম।
কম্পাসের কাঁটা A বিন্দুতে বসিয়ে যেকোনো ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকলাম যা AB-কে একটি বিন্দুতে ছেদ করল।
একই ব্যাসার্ধ নিয়ে ছেদবিন্দু থেকে পরপর দুবার বৃত্তচাপ কাটলে যথাক্রমে $60^\circ$ এবং $120^\circ$ কোণের বিন্দু পাওয়া যাবে।
$60^\circ$ এবং $120^\circ$-এর বিন্দু দুটি থেকে একই ব্যাসার্ধ নিয়ে উপরের দিকে দুটি বৃত্তচাপ আঁকলাম যারা পরস্পরকে ছেদ করল। ছেদবিন্দু ও A যোগ করলে $90^\circ$ কোণ উৎপন্ন হবে।
$60^\circ$ এবং $90^\circ$ কোণের মধ্যবর্তী অংশকে সমদ্বিখণ্ডিত করলে $\frac{60+90}{2} = 75^\circ$ কোণ পাওয়া যাবে। অর্থাৎ $60^\circ$ ও $90^\circ$-এর বিন্দু থেকে বৃত্তচাপ কেটে $75^\circ$ কোণ আঁকলাম।
উপরের চিত্রে A বিন্দুতে কম্পাসের সাহায্যে নির্দিষ্ট কোণগুলি দেখানো হলো।
3. স্কেল, পেনসিল ও কম্পাসের সাহায্যে $45^\circ$ ও $22\frac{1}{2}^\circ$ কোণ আঁকি।
অঙ্কন পদ্ধতি:
প্রথমে একটি সরলরেখার ওপর কম্পাসের সাহায্যে $90^\circ$ কোণ অঙ্কন করলাম।
এরপর $90^\circ$ কোণটিকে কম্পাসের সাহায্যে সমদ্বিখণ্ডিত করলাম (অর্থাৎ $0^\circ$ এবং $90^\circ$-এর বিন্দু থেকে বৃত্তচাপ কেটে)। এর ফলে $\frac{90^\circ}{2} = \mathbf{45^\circ}$ কোণ উৎপন্ন হলো।
সবশেষে, উৎপন্ন $45^\circ$ কোণটিকে পুনরায় সমদ্বিখণ্ডিত করলাম। এর ফলে $\frac{45^\circ}{2} = \mathbf{22\frac{1}{2}^\circ}$ কোণ তৈরি হলো।
4. স্কেল ও পেনসিল কম্পাসের সাহায্যে নিম্নলিখিত কোণগুলি আঁকি। a) $30^\circ$ b) $60^\circ$ c) $75^\circ$ d) $105^\circ$ e) $120^\circ$ f) $135^\circ$ g) $150^\circ$ h) $15^\circ$
[প্রতিটি কোণ কম্পাসের সাহায্যে নির্দিষ্ট নিয়ম মেনে আঁকতে হবে। নিচে প্রতিটি কোণ কীভাবে পাবে তার সংক্ষিপ্ত বিবরণ দেওয়া হলো:]
a) $\mathbf{30^\circ}$: প্রথমে $60^\circ$ কোণ এঁকে, তাকে সমদ্বিখণ্ডিত করতে হবে। $\left(\frac{60^\circ}{2} = 30^\circ\right)$
b) $\mathbf{60^\circ}$: যেকোনো ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্তচাপ এঁকে, সেই একই ব্যাসার্ধ নিয়ে প্রথম ছেদবিন্দু থেকে কাটলেই $60^\circ$ কোণ পাওয়া যায়।
c) $\mathbf{75^\circ}$: প্রথমে $90^\circ$ ও $60^\circ$ কোণ আঁকতে হবে। তারপর তাদের মাঝের অংশকে সমদ্বিখণ্ডিত করতে হবে। $\left(60^\circ + \frac{30^\circ}{2} = 75^\circ\right)$
d) $\mathbf{105^\circ}$: প্রথমে $90^\circ$ ও $120^\circ$ কোণ আঁকতে হবে। তারপর তাদের মাঝের অংশকে সমদ্বিখণ্ডিত করতে হবে। $\left(90^\circ + \frac{30^\circ}{2} = 105^\circ\right)$
e) $\mathbf{120^\circ}$: প্রথম বৃত্তচাপের ওপর একই ব্যাসার্ধ নিয়ে পর পর দুবার কাটলে $120^\circ$ কোণ তৈরি হয়। $\left(60^\circ \times 2 = 120^\circ\right)$
f) $\mathbf{135^\circ}$: প্রথমে $90^\circ$ ও $180^\circ$ (সরলরেখা) তৈরি করতে হবে। তারপর তাদের মাঝের অংশকে সমদ্বিখণ্ডিত করতে হবে। $\left(\frac{90^\circ+180^\circ}{2} = 135^\circ\right)$
g) $\mathbf{150^\circ}$: প্রথমে $120^\circ$ ও $180^\circ$ কোণের বিন্দু চিহ্নিত করে তাদের মাঝের অংশকে সমদ্বিখণ্ডিত করতে হবে। $\left(120^\circ + \frac{60^\circ}{2} = 150^\circ\right)$
h) $\mathbf{15^\circ}$: প্রথমে $60^\circ$ এঁকে তাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে $30^\circ$ বের করতে হবে। এরপর সেই $30^\circ$ কোণটিকে পুনরায় সমদ্বিখণ্ডিত করলে $15^\circ$ পাওয়া যাবে। $\left(\frac{30^\circ}{2} = 15^\circ\right)$
5. স্কেল ও পেনসিল কম্পাসের সাহায্যে $\angle PQR$ কোণ অঙ্কন করি যার মান $60^\circ$; এবার QR বাহুকে R বিন্দুর বিপরীত দিকে S বিন্দু পর্যন্ত বাড়িয়ে দিই। $\angle PQS = \square$ ডিগ্রি। এই $\angle PQS$ কোণকে সমদ্বিখণ্ডিত করি ও চাঁদার সাহায্যে মেপে যাচাই করি $\angle PQS$ সমদ্বিখণ্ডিত হলো কিনা।
সমাধান:
প্রথমে একটি সরলরেখাংশের উপর Q বিন্দুতে কম্পাসের সাহায্যে $\angle PQR = 60^\circ$ অঙ্কন করলাম।
এবার QR বাহুকে R বিন্দুর বিপরীত দিকে S বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করলাম। ফলে S-Q-R একটি সরলরেখা বা $180^\circ$ কোণ তৈরি হলো।
আমরা জানি, একটি সরলরেখার উপর অবস্থিত মোট কোণ $180^\circ$।
সুতরাং, $\angle PQS = 180^\circ - \angle PQR$
$\angle PQS = 180^\circ - 60^\circ = \color{#059669}{\mathbf{120^\circ}}$
অতএব, $\angle PQS = \mathbf{\boxed{120}}$ ডিগ্রি।
এবার কম্পাসের সাহায্যে $\angle PQS$ বা $120^\circ$ কোণটিকে সমদ্বিখণ্ডিত করলাম। ধরি সমদ্বিখণ্ডকটি হলো QT।
চাঁদার সাহায্যে মেপে দেখলাম, সমদ্বিখণ্ডকটি কোণটিকে সমান দুটি ভাগে ভাগ করেছে, অর্থাৎ $\angle PQT = 60^\circ$ এবং $\angle SQT = 60^\circ$। সুতরাং $\angle PQS$ সঠিকভাবে সমদ্বিখণ্ডিত হয়েছে।
6. স্কেল ও পেনসিল কম্পাসের সাহায্যে $\angle ABC$ কোণ অঙ্কন করি যার মান $30^\circ$; এবার BC বাহুকে C বিন্দুর বিপরীত দিকে D বিন্দু পর্যন্ত বাড়িয়ে দিই। এবার $\angle ABD$-এর সমদ্বিখণ্ডক BE আঁকি। চাঁদার সাহায্যে মেপে দেখি $\angle DBE = \square$ ডিগ্রি ও $\angle EBC = \square$ ডিগ্রি।
সমাধান:
প্রথমে B বিন্দুতে কম্পাসের সাহায্যে $\angle ABC = 30^\circ$ অঙ্কন করলাম (প্রথমে $60^\circ$ এঁকে তাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে)।
এবার BC বাহুকে C বিন্দুর বিপরীত দিকে অর্থাৎ B বিন্দুর বাঁদিকে D বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করলাম। ফলে D-B-C একটি সরলরেখা বা $180^\circ$ কোণ তৈরি হলো।
এখানে, $\angle ABD = 180^\circ - \angle ABC$
$\angle ABD = 180^\circ - 30^\circ = \mathbf{150^\circ}$
এরপর কম্পাসের সাহায্যে $\angle ABD$ বা $150^\circ$ কোণটিকে সমদ্বিখণ্ডিত করে BE সরলরেখাংশ আঁকলাম।
যেহেতু BE হলো $\angle ABD$-এর সমদ্বিখণ্ডক, তাই
$\angle DBE = \frac{150^\circ}{2} = \color{#059669}{\mathbf{75^\circ}}$
উপরে Class 7 Math Chapter 7 Koshe Dekhi 7 এর সম্পূর্ণ সমাধান প্রদান করা হয়েছে। এই অধ্যায়ে জ্যামিতির মৌলিক ধারণা, বিশেষ করে চাঁদা ছাড়া শুধুমাত্র স্কেল এবং কম্পাসের সাহায্যে বিভিন্ন নির্দিষ্ট কোণ অঙ্কন শেখানো হয়েছে।
মৌলিক কোণসমূহ: কম্পাসের সাহায্যে সরাসরি $60^\circ$ এবং $120^\circ$ কোণ আঁকা যায়। এই দুটি কোণকে ব্যবহার করে অন্যান্য সমস্ত কোণ তৈরি করা হয়।
সমদ্বিখণ্ডক বা Bisector: যেকোনো কোণকে সমান দুভাগে ভাগ করার পদ্ধতিকে কাজে লাগিয়ে $30^\circ$ (60-এর অর্ধেক), $45^\circ$ (90-এর অর্ধেক), $75^\circ$ ($60^\circ$ ও $90^\circ$ এর মধ্যবর্তী) ইত্যাদি কোণ সহজেই অঙ্কন করা যায়।
Sponsored Links
FAQs: Class 7 Math Koshe Dekhi 7
না, শুধুমাত্র পেন্সিল ও কম্পাসের সাহায্যে $15^\circ$ এর গুণিতক কোণগুলি (যেমন ১৫, ৩০, ৪৫, ৬০, ৭৫, ৯০ ইত্যাদি) নিখুঁতভাবে আঁকা সম্ভব। অন্য কোণগুলি আঁকার জন্য চাঁদার (Protractor) প্রয়োজন হয়।
প্রথমে সরলরেখার উপর কম্পাসের সাহায্যে $60^\circ$ এবং $90^\circ$ কোণ আঁকতে হবে। এরপর $60^\circ$ এবং $90^\circ$ এর মধ্যবর্তী $30^\circ$ অংশটিকে সমদ্বিখণ্ডিত করলে $15^\circ$ পাওয়া যায়, যা $60^\circ$ এর সাথে যুক্ত হয়ে মোট $75^\circ$ কোণ তৈরি করে।
যেকোনো কোণকে সমদ্বিখণ্ডিত করতে হলে, কোণের শীর্ষবিন্দু থেকে একটি বৃত্তচাপ আঁকতে হয় যা কোণের দুটি বাহুকে ছেদ করে। এবার ঐ দুটি ছেদবিন্দু থেকে অর্ধেকের বেশি ব্যাসার্ধ নিয়ে দুটি নতুন বৃত্তচাপ আঁকতে হয় যারা পরস্পরকে ছেদ করে। শীর্ষবিন্দু ও ছেদবিন্দু যোগ করলেই কোণটি সমান দুভাগে ভাগ হয়ে যায়।
