পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদের সপ্তম শ্রেণির গণিত প্রভা বইয়ের অধ্যায় ৩ এর 'কষে দেখি ৩' (সমানুপাতের বাস্তব সমস্যা) এর সম্পূর্ণ সমাধান।
| চারটি সংখ্যা | সমানুপাতী | সমানুপাতী নয় |
|---|---|---|
| 8, 10, 16, 20 | 8, 10, 16, 20 | |
| 25, 30, 12, 15 | 25, 30, 12, 15 | |
| 5, 7, 25, 35 | 5, 7, 25, 35 | |
| 4, 10, 30, 18 | 4, 10, 30, 18 | |
| 5, 10, 16, 20 | 5, 10, 16, 20 | |
| 9, 15, 18, 30 | 9, 15, 18, 30 |
(বি.দ্র: প্রথম ও শেষ পদের গুণফল এবং দ্বিতীয় ও তৃতীয় পদের গুণফল সমান হলে সংখ্যাগুলি সমানুপাতী হয়, নাহলে সমানুপাতী নয়।)
গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হলো,
| লোকসংখ্যা (জন) | প্রয়োজনীয় সময় (দিন) |
|---|---|
| 8 | 15 |
| 10 | ? |
লোকসংখ্যা বাড়লে কাজটি শেষ করতে সময় কম লাগবে। তাই লোকসংখ্যার সঙ্গে দিনসংখ্যা ব্যস্ত সমানুপাতে আছে।
$\therefore$ সমানুপাতটি হলো,
$10 : 8 :: 15 : \text{?}$
আমরা জানি, প্রান্তীয় পদদ্বয়ের গুণফল = মধ্যপদদ্বয়ের গুণফল
তাই, $10 \times \text{চতুর্থ পদ} = 8 \times 15$
চতুর্থ পদ $= \frac{8 \times 15}{10}$
কাটাকুটি করে পাই, $= \frac{120}{10} = 12$
গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হলো,
| লোকসংখ্যা (জন) | সময় (দিন) |
|---|---|
| 12 | 20 |
| 40 | ? |
লোকসংখ্যা বাড়লে ওই নির্দিষ্ট পরিমাণ খাবার কম দিন চলবে। তাই লোকসংখ্যার সঙ্গে দিনসংখ্যা ব্যস্ত সমানুপাতে আছে।
$\therefore$ সমানুপাতটি হলো,
$40 : 12 :: 20 : \text{?}$
আমরা জানি, $40 \times \text{চতুর্থ পদ} = 12 \times 20$
চতুর্থ পদ $= \frac{12 \times 20}{40}$
কাটাকুটি করে পাই, $= \frac{240}{40} = 6$
গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হলো,
| সময় (দিন) | লাঙল সংখ্যা (টি) |
|---|---|
| 10 | 16 |
| 8 | ? |
দিনসংখ্যা কমলে ওই একই জমি চাষ করতে লাঙল বেশি লাগবে। তাই দিনসংখ্যার সঙ্গে লাঙল সংখ্যা ব্যস্ত সমানুপাতে আছে।
$\therefore$ সমানুপাতটি হলো,
$8 : 10 :: 16 : \text{?}$
আমরা জানি, $8 \times \text{চতুর্থ পদ} = 10 \times 16$
চতুর্থ পদ $= \frac{10 \times 16}{8}$
কাটাকুটি করে পাই, $= 10 \times 2 = 20$
30 দিন পার হয়ে গেছে।
$\therefore$ এখন খাবার অবশিষ্ট আছে = $(190 - 30)$ দিন = 160 দিনের।
অর্থাৎ, ওই অবশিষ্ট খাবারে 4000 জনের 160 দিন চলত।
800 জন চলে যাওয়ায় এখন লোকসংখ্যা হলো = $4000 - 800 = 3200$ জন।
গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হলো,
| লোকসংখ্যা (জন) | সময় (দিন) |
|---|---|
| 4000 | 160 |
| 3200 | ? |
লোকসংখ্যা কমলে খাবার বেশি দিন চলবে। তাই এদের মধ্যে ব্যস্ত সমানুপাত সম্পর্ক।
$\therefore$ সমানুপাতটি হলো,
$3200 : 4000 :: 160 : \text{?}$
আমরা জানি, $3200 \times \text{চতুর্থ পদ} = 4000 \times 160$
চতুর্থ পদ $= \frac{4000 \times 160}{3200}$
কাটাকুটি করে পাই, $= \frac{4000}{20} = 200$
প্রশ্নানুসারে,
3টি ছাতার দাম = 600 টাকা।
$\therefore$ 1টি ছাতার দাম = $\frac{600}{3} = 200$ টাকা।
$\therefore$ 2টি ছাতার দাম = $200 \times 2 = 400$ টাকা।
আবার বলা আছে,
1টি চেয়ারের দাম = 600 টাকা।
$\therefore$ 2টি চেয়ারের দাম = $600 \times 2 = 1200$ টাকা।
$\therefore$ 2টি ছাতা ও 2টি চেয়ারের মোট দাম = $400 + 1200 = 1600$ টাকা।
(এটি একটি বাস্তবভিত্তিক কাজ। নীচে একটি নমুনা সমাধান করে দেখানো হলো:)
ধরি, আজকে আমাদের (সপ্তম) শ্রেণিতে মোট ছাত্রছাত্রী 50 জন। এর মধ্যে উপস্থিত 40 জন এবং অনুপস্থিত 10 জন।
$\therefore$ সপ্তম শ্রেণির উপস্থিত ও অনুপস্থিতির অনুপাত = $40 : 10 = 4 : 1$
ধরি, ষষ্ঠ শ্রেণিতে মোট ছাত্রছাত্রী 60 জন। এর মধ্যে উপস্থিত 48 জন এবং অনুপস্থিত 12 জন।
$\therefore$ ষষ্ঠ শ্রেণির উপস্থিত ও অনুপস্থিতির অনুপাত = $48 : 12 = 4 : 1$
যেহেতু দুটি অনুপাতই $4 : 1$, তাই অনুপাত দুটি সমান।
(বইয়ের ছবি থেকে সাবধানে গুনে পাওয়া গেল:)
লাল রঙের ঘর (Red) = 24 টি
নীল রঙের ঘর (Blue) = 6 টি
সবুজ রঙের ঘর (Green) = 12 টি
বাদামি/কমলা রঙের ঘর (Brown) = 30 টি
বেগুনি রঙের ঘর (Purple) = 24 টি
হলুদ রঙের ঘর (Yellow) = 18 টি
লাল (24), সবুজ (12) এবং বেগুনি (24), সবুজ (12) নিলে আমরা পাই:
$24 : 12 = 2 : 1$ এবং $24 : 12 = 2 : 1$
যেহেতু দুটি অনুপাত সমান, তাই এরা সমানুপাতে আছে।
প্রথম শরবতে, সিরাপ : জল = $2 : 5 = \frac{2}{5}$
দ্বিতীয় শরবতে, সিরাপ : জল = $6 : 10 = \frac{6}{10}$
ভগ্নাংশ দুটি তুলনা করার জন্য হরগুলিকে সমান করি (5 এবং 10 এর ল.সা.গু. 10):
প্রথম শরবত = $\frac{2 \times 2}{5 \times 2} = \frac{4}{10}$
দ্বিতীয় শরবত = $\frac{6 \times 1}{10 \times 1} = \frac{6}{10}$
যেহেতু $\frac{6}{10} > \frac{4}{10}$, তাই দ্বিতীয় শরবতে সিরাপের ভাগ বেশি।
ধরি, জলের আয়তন = 100 একক।
বরফ হলে আয়তন 10% বাড়ে, অর্থাৎ নতুন আয়তন হবে = $100 + 10 = 110$ একক।
$\therefore$ জল ও তা থেকে তৈরি বরফের আয়তনের অনুপাত
$= 100 : 110$
$= 10 : 11$ (১০ দিয়ে ভাগ করে)
আমার বয়স = 12 বছর।
বাবার বয়স = 42 বছর।
$\therefore$ দুজনের বয়সের অনুপাত
$= 12 : 42$
$= 2 : 7$ (উভয় পদকে 6 দিয়ে ভাগ করে)
গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হলো,
| গল্পের বই (টি) | পড়ার বই (টি) |
|---|---|
| 2 | 5 |
| 4 | ? |
গল্পের বই বাড়লে পড়ার বইও বাড়বে (যেহেতু অনুপাত নির্দিষ্ট)। তাই এরা সরল সমানুপাতে আছে।
$\therefore$ সমানুপাতটি হলো,
$2 : 4 :: 5 : \text{?}$
আমরা জানি, $2 \times \text{চতুর্থ পদ} = 4 \times 5$
চতুর্থ পদ $= \frac{4 \times 5}{2} = 2 \times 5 = 10$
জবা ও গাঁদা ফুলের অনুপাত = $3 : 4$
আনুপাতিক ভাগহারের সমষ্টি = $3 + 4 = 7$
মোট ফুল = $105$ টি
$\therefore$ জবা ফুলের সংখ্যা = $105 \times \frac{3}{7}$ টি
$= 15 \times 3 = 45$ টি
$\therefore$ গাঁদা ফুলের সংখ্যা = $105 \times \frac{4}{7}$ টি
$= 15 \times 4 = 60$ টি
দ্বিতীয় অংশ:
দু-রকম ফুলের সংখ্যার অনুপাত সমান (অর্থাৎ 1:1) হতে গেলে, জবা ফুলকেও গাঁদা ফুলের সমান হতে হবে।
গাঁদা ফুল আছে 60টি। জবা ফুল আছে 45টি।
$\therefore$ আরও জবা ফুল লাগবে = $(60 - 45)$ টি = 15 টি।
(এটি একটি ব্যবহারিক কাজ। তুমি তোমার বইয়ের ছকে ইচ্ছামতো ৫টি রং করবে। তারপর গুনে গুনে অনুপাত তৈরি করবে। নীচে একটি উদাহরণ দেওয়া হলো:)
ধরি, আমি ঘরগুলিতে রং করে পেলাম:
লাল = 20 টি, সবুজ = 15 টি, নীল = 20 টি, হলুদ = 10 টি, কালো = 35 টি।
উপরে Class 7 Math Chapter 3 Koshe Dekhi 3 এর সমানুপাত (Proportion) সংক্রান্ত সমস্ত বাস্তব সমস্যার ধাপে ধাপে সমাধান দেওয়া হয়েছে। কোন সমস্যাটি সরল সমানুপাতে এবং কোনটি ব্যস্ত সমানুপাতে আছে, তা নির্ণয় করে বইয়ের নিয়ম অনুযায়ী নীল রঙের ছকের সাহায্যে চতুর্থ পদ বের করার সম্পূর্ণ পদ্ধতিটি অত্যন্ত সহজ ভাষায় ব্যাখ্যা করা হয়েছে।
