কষে দেখি 21 (Koshe Dekhi 21)

উত্তর: একটি চতুর্ভুজের শুধুমাত্র চারটি বাহুর দৈর্ঘ্য জানা থাকলে ওই চতুর্ভুজটি নির্দিষ্টভাবে আঁকতে পারব না।

কারণ ও প্রয়োজনীয় তথ্য: একটি নির্দিষ্ট বা অনন্য চতুর্ভুজ আঁকার জন্য মোট ৫টি তথ্যের প্রয়োজন হয়। এখানে ৪টি তথ্য (চারটি বাহু) দেওয়া আছে। তাই নির্দিষ্টভাবে চতুর্ভুজটি আঁকার জন্য আরও একটি তথ্য প্রয়োজন। সেটি হতে পারে:

• যেকোনো একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য, অথবা
• যেকোনো একটি অন্তর্ভুক্ত কোণের মান।

উত্তর: একটি নির্দিষ্ট সামান্তরিক আঁকতে কমপক্ষে ৩টি তথ্যের দরকার।

যেমন:

• দুটি সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্য এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত একটি কোণ। (অথবা)
• দুটি সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্য এবং একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য। (অথবা)
• একটি বাহুর দৈর্ঘ্য এবং দুটি কর্ণের দৈর্ঘ্য।

[নোট: সামান্তরিকের বিপরীত বাহুগুলি সমান ও সমান্তরাল হয়, এই ধর্মটি ব্যবহার করেই ৩টি তথ্য দিয়ে সামান্তরিক আঁকা সম্ভব হয়।]

উত্তর: একটি নির্দিষ্ট বর্গক্ষেত্র আঁকতে কমপক্ষে ১টি তথ্যের দরকার।

সেটি হলো: একটি বাহুর দৈর্ঘ্য।

[কারণ: বর্গক্ষেত্রের চারটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান এবং প্রতিটি কোণ $90^\circ$ হয়। তাই একটি বাহু জানা থাকলেই বাকি সবকিছু জানা হয়ে যায়।]

উত্তর: একটি নির্দিষ্ট আয়তক্ষেত্র আঁকতে কমপক্ষে ২টি তথ্যের দরকার।

সেগুলি হলো: দুটি সন্নিহিত বাহুর (দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ) মাপ।

[কারণ: আয়তক্ষেত্রের বিপরীত বাহুগুলি সমান এবং প্রতিটি কোণ $90^\circ$ হয়।]

উত্তর: হ্যাঁ, আঁকতে পারব।

কারণ: আমরা জানি, রম্বসের কর্ণ দুটি পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে। এই ধর্মটিকে কাজে লাগিয়ে প্রথমে একটি কর্ণের লম্ব-সমদ্বিখণ্ডক এঁকে তার সাহায্যে খুব সহজেই রম্বসটি আঁকা যাবে।

প্রথম অংশ (অঙ্কন):

1. প্রথমে স্কেলের সাহায্যে প্রদত্ত দৈর্ঘ্যের ৫টি সরলরেখাংশ এঁকে নিলাম।
2. যেকোনো একটি রশ্মি AX থেকে কর্ণ AC = 10 সেমি. কেটে নিলাম।
3. A বিন্দুকে কেন্দ্র করে 5.2 সেমি. এবং C বিন্দুকে কেন্দ্র করে 6 সেমি. ব্যাসার্ধ নিয়ে AC-এর একপাশে দুটি বৃত্তচাপ আঁকলাম, যারা পরস্পরকে B বিন্দুতে ছেদ করল।
4. আবার A বিন্দুকে কেন্দ্র করে 7 সেমি. এবং C বিন্দুকে কেন্দ্র করে 4.4 সেমি. ব্যাসার্ধ নিয়ে AC-এর অপর পাশে আরও দুটি বৃত্তচাপ আঁকলাম, যারা পরস্পরকে D বিন্দুতে ছেদ করল।
5. A, B; B, C; C, D এবং D, A যোগ করলাম। ফলে উদ্দিষ্ট চতুর্ভুজ ABCD অঙ্কিত হলো।

দ্বিতীয় অংশ (বিশ্লেষণ):

যদি AC = 12 সেমি. হয়, তবে $\Delta ABC$ গঠনের ক্ষেত্রে:

ক্ষুদ্রতম দুটি বাহু হলো AB = 5.2 সেমি. এবং BC = 6 সেমি.।

এদের যোগফল = 5.2 + 6 = 11.2 সেমি.

আমরা জানি, ত্রিভুজের যেকোনো দুটি বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি তৃতীয় বাহুর চেয়ে বড়ো হতে হয়। কিন্তু এখানে 11.2 সেমি. < 12 সেমি. (AC)।

অর্থাৎ, বৃত্তচাপ দুটি পরস্পরকে ছেদ করবে না এবং ত্রিভুজ গঠিত হবে না।

অঙ্কন পদ্ধতি:

1. আমরা জানি সামান্তরিকের বিপরীত বাহুগুলি সমান হয়। তাই JUMP সামান্তরিকে, PM = JU = 5.2 সেমি. এবং PJ = UM = 4.8 সেমি. হবে।
2. প্রথমে স্কেলের সাহায্যে 7 সেমি., 5.2 সেমি. এবং 4.8 সেমি. দৈর্ঘ্যের তিনটি সরলরেখাংশ আঁকলাম।
3. যেকোনো একটি রশ্মি থেকে কর্ণ JM = 7 সেমি. কেটে নিলাম।
4. J বিন্দুকে কেন্দ্র করে 5.2 সেমি. এবং M বিন্দুকে কেন্দ্র করে 4.8 সেমি. ব্যাসার্ধ নিয়ে JM-এর একপাশে দুটি বৃত্তচাপ আঁকলাম, যারা পরস্পরকে U বিন্দুতে ছেদ করল।
5. আবার J বিন্দুকে কেন্দ্র করে 4.8 সেমি. এবং M বিন্দুকে কেন্দ্র করে 5.2 সেমি. ব্যাসার্ধ নিয়ে JM-এর অপর পাশে দুটি বৃত্তচাপ আঁকলাম, যারা পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করল।
6. J, U; M, U; J, P এবং M, P যোগ করলাম।
7. ফলে উদ্দিষ্ট সামান্তরিক JUMP অঙ্কিত হলো।

অঙ্কন পদ্ধতি:

1. আমরা জানি রম্বসের ৪টি বাহুর দৈর্ঘ্যই সমান হয়। তাই এই রম্বসের প্রতিটি বাহু (PQ, QR, RS, SP) 5.4 সেমি. হবে।
2. প্রথমে স্কেলের সাহায্যে 8 সেমি. এবং 5.4 সেমি. দৈর্ঘ্যের দুটি সরলরেখাংশ আঁকলাম।
3. যেকোনো একটি রশ্মি থেকে কর্ণ PR = 8 সেমি. কেটে নিলাম।
4. P ও R বিন্দুকে কেন্দ্র করে 5.4 সেমি. ব্যাসার্ধ নিয়ে PR-এর উপরের দিকে দুটি বৃত্তচাপ আঁকলাম, যারা পরস্পরকে Q বিন্দুতে ছেদ করল।
5. একইভাবে P ও R বিন্দুকে কেন্দ্র করে 5.4 সেমি. ব্যাসার্ধ নিয়ে PR-এর নীচের দিকে আরও দুটি বৃত্তচাপ আঁকলাম, যারা পরস্পরকে S বিন্দুতে ছেদ করল।
6. P, Q; R, Q; P, S এবং R, S যোগ করলাম।
7. ফলে উদ্দিষ্ট রম্বস PQRS অঙ্কিত হলো।

অঙ্কন পদ্ধতি:

1. প্রথমে স্কেলের সাহায্যে 7 সেমি., 6.5 সেমি., 5.2 সেমি. এবং 4.4 সেমি. দৈর্ঘ্যের চারটি সরলরেখাংশ আঁকলাম। এবং কম্পাসের সাহায্যে $60^\circ$ কোণ এঁকে নিলাম।
2. যেকোনো একটি রশ্মি QX থেকে QR = 6.5 সেমি. কেটে নিলাম।
3. Q বিন্দুতে কম্পাসের সাহায্যে $\angle YQR = 60^\circ$ কোণ অঙ্কন করলাম।
4. QY রশ্মি থেকে PQ = 7 সেমি. ব্যাসার্ধ নিয়ে কেটে নিলাম। ফলে P বিন্দু পেলাম।
5. এবার P বিন্দুকে কেন্দ্র করে 4.4 সেমি. (SP-এর দৈর্ঘ্য) এবং R বিন্দুকে কেন্দ্র করে 5.2 সেমি. (RS-এর দৈর্ঘ্য) ব্যাসার্ধ নিয়ে QR-এর যেদিকে P আছে, সেদিকে দুটি বৃত্তচাপ আঁকলাম। এরা পরস্পরকে S বিন্দুতে ছেদ করল।
6. P, S এবং R, S যোগ করলাম।
7. ফলে উদ্দিষ্ট চতুর্ভুজ PQRS অঙ্কিত হলো।

অঙ্কন পদ্ধতি:

1. এখানে রম্বসের দুটি কর্ণ দেওয়া আছে (BS এবং ET)। আমরা জানি, রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে ($90^\circ$) সমদ্বিখণ্ডিত করে।
2. প্রথমে স্কেলের সাহায্যে 6.8 সেমি. এবং 5.8 সেমি. দৈর্ঘ্যের দুটি সরলরেখাংশ আঁকলাম।
3. যেকোনো একটি রশ্মি থেকে একটি কর্ণ BS = 6.8 সেমি. কেটে নিলাম।
4. পেন্সিল কম্পাসের সাহায্যে BS সরলরেখাংশের লম্ব সমদ্বিখণ্ডক আঁকলাম। ধরি এটি BS কে O বিন্দুতে ছেদ করল। সুতরাং, O হলো BS-এর মধ্যবিন্দু।
5. অপর কর্ণ ET = 5.8 সেমি., তাই এর অর্ধেক হবে $\frac{5.8}{2} = 2.9$ সেমি.।
6. এবার O বিন্দুকে কেন্দ্র করে 2.9 সেমি. ব্যাসার্ধ নিয়ে লম্ব সমদ্বিখণ্ডকের উপরের দিকে এবং নীচের দিকে দুটি বৃত্তচাপ কাটলাম। ধরি উপরের ছেদবিন্দু E এবং নীচের ছেদবিন্দু T।
7. B, E; E, S; S, T এবং T, B যোগ করলাম।
8. ফলে উদ্দিষ্ট রম্বস BEST অঙ্কিত হলো।

অঙ্কন পদ্ধতি:

1. আমরা জানি বর্গক্ষেত্রের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান হয় এবং প্রতিটি কোণ $90^\circ$ হয়। সুতরাং, এই বর্গক্ষেত্রের প্রতিটি বাহু 5.2 সেমি. হবে।
2. প্রথমে স্কেলের সাহায্যে 5.2 সেমি. দৈর্ঘ্যের একটি সরলরেখাংশ আঁকলাম।
3. যেকোনো একটি রশ্মি DX থেকে 5.2 সেমি. কেটে নিয়ে DE রেখাংশ তৈরি করলাম।
4. D বিন্দুতে কম্পাসের সাহায্যে $\angle YDX = 90^\circ$ কোণ অঙ্কন করলাম।
5. DY রশ্মি থেকে 5.2 সেমি. ব্যাসার্ধ নিয়ে কেটে নিলাম। ফলে R বিন্দু পেলাম।
6. এবার R বিন্দু ও E বিন্দুকে কেন্দ্র করে 5.2 সেমি. ব্যাসার্ধ নিয়ে DX-এর যেদিকে R আছে সেদিকে দুটি বৃত্তচাপ আঁকলাম। এরা পরস্পরকে A বিন্দুতে ছেদ করল।
7. R, A এবং E, A যোগ করলাম।
8. ফলে উদ্দিষ্ট বর্গক্ষেত্র DEAR অঙ্কিত হলো।

অঙ্কন পদ্ধতি:

1. আমরা জানি আয়তক্ষেত্রের প্রতিটি কোণ $90^\circ$ হয় এবং বিপরীত বাহুগুলি সমান হয়।
2. প্রথমে স্কেলের সাহায্যে 6 সেমি. এবং 5 সেমি. দৈর্ঘ্যের দুটি সরলরেখাংশ আঁকলাম।
3. যেকোনো একটি রশ্মি RX থেকে RE = 6 সেমি. কেটে নিলাম।
4. E বিন্দুতে কম্পাসের সাহায্যে $\angle YER = 90^\circ$ কোণ অঙ্কন করলাম।
5. EY রশ্মি থেকে EA = 5 সেমি. ব্যাসার্ধ নিয়ে কেটে নিলাম। ফলে A বিন্দু পেলাম।
6. যেহেতু বিপরীত বাহু সমান, তাই RD = 5 সেমি. এবং AD = 6 সেমি. হবে।
7. এবার R বিন্দুকে কেন্দ্র করে 5 সেমি. এবং A বিন্দুকে কেন্দ্র করে 6 সেমি. ব্যাসার্ধ নিয়ে RX-এর যেদিকে A আছে, সেদিকে দুটি বৃত্তচাপ আঁকলাম। এরা পরস্পরকে D বিন্দুতে ছেদ করল।
8. R, D এবং A, D যোগ করলাম।
9. ফলে উদ্দিষ্ট আয়তক্ষেত্র READ অঙ্কিত হলো।

অঙ্কন প্রণালী:

1. প্রথমে স্কেলের সাহায্যে 5.6 সেমি. এবং 4.5 সেমি. দৈর্ঘ্যের দুটি সরলরেখাংশ আঁকলাম। চাঁদার সাহায্যে $45^\circ, 75^\circ$ এবং $110^\circ$ কোণগুলি এঁকে নিলাম।
2. যেকোনো একটি রশ্মি AX আঁকলাম এবং তা থেকে 5.6 সেমি. দৈর্ঘ্যের সমান করে AS অংশ কেটে নিলাম। (A ডানদিকে, S বাঁদিকে ধরলে সুবিধা হবে, অথবা উল্টোটাও করা যায়)। ধরি, A বাঁদিকে এবং X ডানদিকে, তাহলে AS নয়, আমরা SA ভূমি নেব।
3. সংশোধিত ধাপ: একটি রশ্মি SX আঁকলাম। তা থেকে SA = 5.6 সেমি কেটে নিলাম।
4. A বিন্দুতে চাঁদার সাহায্যে $\angle SAY = 75^\circ$ (অর্থাৎ $\angle SAN$) কোণ আঁকলাম।
5. AY রশ্মি থেকে AN = 4.5 সেমি. ব্যাসার্ধ নিয়ে কেটে নিলাম। ফলে N বিন্দু পেলাম।
6. S বিন্দুতে চাঁদার সাহায্যে $\angle ASZ = 45^\circ$ (অর্থাৎ $\angle ASD$) কোণ আঁকলাম।
7. N বিন্দুতে চাঁদার সাহায্যে $\angle ANW = 110^\circ$ (অর্থাৎ $\angle AND$) কোণ আঁকলাম।
8. ধরি, SZ এবং NW রশ্মি দুটি পরস্পরকে D বিন্দুতে ছেদ করল।

ফলে উদ্দিষ্ট চতুর্ভুজ SAND অঙ্কিত হলো।

অঙ্কন পদ্ধতি:

1. প্রথমে স্কেলের সাহায্যে 6.6 সেমি. এবং 5.4 সেমি. দৈর্ঘ্যের দুটি সরলরেখাংশ আঁকলাম।
2. যেকোনো একটি রশ্মি AX থেকে LA = 6.6 সেমি. কেটে নিলাম। (A বিন্দু বাঁদিকে এবং L বিন্দু ডানদিকে ধরলাম)।
3. A বিন্দুতে চাঁদা বা কম্পাসের সাহায্যে $\angle YAX = 45^\circ$ কোণ অঙ্কন করলাম।
4. AY রশ্মি থেকে AN = 5.4 সেমি. ব্যাসার্ধ নিয়ে কেটে নিলাম। ফলে N বিন্দু পেলাম।
5. আমরা জানি, সামান্তরিকের বিপরীত বাহুগুলি সমান হয়। তাই ND = 6.6 সেমি. এবং LD = 5.4 সেমি. হবে।
6. এবার N বিন্দুকে কেন্দ্র করে 6.6 সেমি. (LA-এর দৈর্ঘ্য) এবং L বিন্দুকে কেন্দ্র করে 5.4 সেমি. (AN-এর দৈর্ঘ্য) ব্যাসার্ধ নিয়ে AX-এর যেদিকে N আছে, সেদিকে দুটি বৃত্তচাপ আঁকলাম। এরা পরস্পরকে D বিন্দুতে ছেদ করল।
7. N, D এবং L, D যোগ করলাম।
8. ফলে উদ্দিষ্ট সামান্তরিক LAND অঙ্কিত হলো।

অঙ্কন পদ্ধতি:

1. আমরা জানি রম্বসের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান হয়। তাই এই রম্বসের ৪টি বাহুই 6 সেমি. হবে।
2. প্রথমে স্কেলের সাহায্যে 6 সেমি. দৈর্ঘ্যের একটি সরলরেখাংশ আঁকলাম।
3. যেকোনো একটি রশ্মি OX থেকে 6 সেমি. কেটে নিয়ে HO রেখাংশ তৈরি করলাম।
4. O বিন্দুতে কম্পাসের সাহায্যে $\angle YOX = 60^\circ$ কোণ অঙ্কন করলাম।
5. OY রশ্মি থেকে 6 সেমি. ব্যাসার্ধ নিয়ে কেটে নিলাম। ফলে M বিন্দু পেলাম।
6. এবার M বিন্দু ও H বিন্দুকে কেন্দ্র করে 6 সেমি. ব্যাসার্ধ নিয়ে OX-এর যেদিকে M আছে সেদিকে দুটি বৃত্তচাপ আঁকলাম। এরা পরস্পরকে E বিন্দুতে ছেদ করল।
7. M, E এবং H, E যোগ করলাম।
8. ফলে উদ্দিষ্ট রম্বস HOME অঙ্কিত হলো।

অঙ্কন পদ্ধতি:

1. এখানে রম্বসের দুটি কর্ণ (RA এবং OD) দেওয়া আছে। রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
2. প্রথমে স্কেলের সাহায্যে 8 সেমি. এবং 6 সেমি. দৈর্ঘ্যের দুটি সরলরেখাংশ আঁকলাম।
3. যেকোনো একটি রশ্মি থেকে কর্ণ RA = 8 সেমি. কেটে নিলাম।
4. পেন্সিল কম্পাসের সাহায্যে RA সরলরেখাংশের লম্ব সমদ্বিখণ্ডক আঁকলাম। ধরি এটি RA কে C বিন্দুতে ছেদ করল।
5. অপর কর্ণ OD = 6 সেমি., তাই এর অর্ধেক হবে $\frac{6}{2} = 3$ সেমি.।
6. এবার C বিন্দুকে কেন্দ্র করে 3 সেমি. ব্যাসার্ধ নিয়ে লম্ব সমদ্বিখণ্ডকের উভয় পাশে দুটি বৃত্তচাপ কাটলাম। ধরি ছেদবিন্দু দুটি O এবং D।
7. R, O; O, A; A, D এবং D, R যোগ করলাম।
8. ফলে উদ্দিষ্ট রম্বস ROAD অঙ্কিত হলো।

অঙ্কন পদ্ধতি (কর্ণের সাহায্যে):

1. এখানে TRAM বর্গক্ষেত্রের কর্ণ TA = 6 সেমি. দেওয়া আছে। বর্গক্ষেত্রের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে এবং তাদের দৈর্ঘ্য সমান হয়।
2. অর্থাৎ অপর কর্ণ RM-এর দৈর্ঘ্যও 6 সেমি. হবে।
3. প্রথমে একটি রশ্মি থেকে কর্ণ TA = 6 সেমি. কেটে নিলাম।
4. TA সরলরেখাংশের লম্ব সমদ্বিখণ্ডক আঁকলাম, যা TA কে O বিন্দুতে ছেদ করে।
5. যেহেতু অপর কর্ণ RM = 6 সেমি., তাই এর অর্ধেক 3 সেমি.। O বিন্দুকে কেন্দ্র করে লম্ব সমদ্বিখণ্ডকের উভয় পাশে 3 সেমি. করে কেটে নিলাম এবং ছেদবিন্দুগুলির নাম দিলাম R এবং M।
6. T, R; R, A; A, M এবং M, T যোগ করলাম।
7. ফলে উদ্দিষ্ট বর্গক্ষেত্র TRAM অঙ্কিত হলো।

অঙ্কন পদ্ধতি:

1. প্রথমে স্কেলের সাহায্যে 5 সেমি. (কর্ণ AC) দৈর্ঘ্যের একটি সরলরেখাংশ আঁকলাম।
2. যেকোনো একটি রশ্মি AX থেকে AC = 5 সেমি. কেটে নিলাম।
3. A বিন্দুতে কম্পাসের সাহায্যে $\angle CAX = 30^\circ$ (অর্থাৎ $\angle BAC$) কোণ অঙ্কন করলাম। ধরি রশ্মিটি AY।
4. আমরা জানি আয়তক্ষেত্রের প্রতিটি কোণ $90^\circ$। তাই C বিন্দু থেকে AY রশ্মির ওপর একটি লম্ব অঙ্কন করলাম। ধরি, এই লম্বটি AY কে B বিন্দুতে ছেদ করল। (ফলে $\Delta ABC$ সমকোণী ত্রিভুজ হলো যেখানে $\angle B = 90^\circ$)
5. এবার আয়তক্ষেত্রটি সম্পূর্ণ করতে হবে। A বিন্দুকে কেন্দ্র করে BC-এর দৈর্ঘ্যের সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে AC-এর অপর পাশে একটি বৃত্তচাপ আঁকলাম।
6. C বিন্দুকে কেন্দ্র করে AB-এর দৈর্ঘ্যের সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে আরেকটি বৃত্তচাপ আঁকলাম যা প্রথমটিকে D বিন্দুতে ছেদ করল।
7. A, D এবং C, D যোগ করলাম।
8. ফলে উদ্দিষ্ট আয়তক্ষেত্র ABCD অঙ্কিত হলো।